8、数据插值方法：从牛顿插值到Python与MATLAB实现

数据插值方法：从牛顿插值到Python与MATLAB实现

1. 牛顿插值基础

1.1 误差分析

假设(\psi(x))和(E_n(x))的前(n + 1)阶导数存在，那么(G(x))也存在。(G(x))在([a, b])上有(n + 2)个不同的根。根据中值定理，(G’(x))在((a, b))上有(n + 1)个不同的根，(G’‘(x))在((a, b))上有(n)个不同的根。通过数学归纳法，(G^{(k)})在((a, b))上有(n - k + 2)个不同的根。因此，(G^{(n + 1)})在((a, b))上至少有一个根，设(\xi)是(G^{(n + 1)})在((a, b))上的一个根，即(G^{(n + 1)}(\xi) = 0)。

由(E_n(x))和(\psi(x))的定义可得(E_n^{(n + 1)}(x) = f^{(n + 1)}(x))且(\psi^{(n + 1)} = (n + 1)!)，则(G^{(n + 1)}(x) = f^{(n + 1)}(x) - (n + 1)!\frac{\psi(t)}{E_n(t)})。当(x = \xi)时，(G^{(n + 1)}(\xi) = f^{(n + 1)}(\xi) - (n + 1)!\frac{\psi(t)}{E_n(t)} = 0)，从而(E_n(t) = \frac{\psi(t)}{(n + 1)f^{(n + 1)}(\xi)})。

1.2 牛顿插值多项式的提出

给定一组数据点((x_j, f(x_j)))，(j = 0, \cdots, n)，问题是找到一个次数不超过(n)的多项式(P_n(x))，使得(P_n(x_j) = f(x