13、阿贝尔、塞斯~罗、N~尔德可和性

阿贝尔、塞斯~罗、N~尔德可和性

1. 阿贝尔可和性

阿贝尔可和性是一种重要的求和方法，广泛应用于复数序列和级数的求和中。阿贝尔可和性不仅帮助我们理解某些发散级数的行为，还能在某些情况下提供收敛性判定的方法。

1.1 定义与性质

阿贝尔可和性可以通过以下方式定义：设 (\sum a_k) 是一个复数级数，如果存在 (s) 使得：

[
\lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = s
]

那么我们说 (\sum a_k) 是阿贝尔可和的，并且其阿贝尔和为 (s)。这里 (x) 是一个实数参数，(0 < x < 1)。

1.2 应用

阿贝尔可和性在傅里叶级数理论中有着重要的应用。例如，哈代和李特尔伍德证明了，如果 (f \in L^2)，那么其傅里叶级数 (S[f]) 在 (f) 的每一个连续点 (x) 处可 (w^2) 求和到 (f(x))。此外，马辛凯维奇证明了对于几乎所有的 (x)，(S[f]) 可 (w^2) 求和到 (f(x))。

1.3 示例

考虑级数 (\sum (-1)^k)，它在传统意义上是发散的。但根据阿贝尔可和性的定义，我们有：

[
\lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{2}
]

因此，(\sum (-1)^k) 是阿贝尔可和的，其阿贝尔和为 (\frac