7、算子 N~rlund 均值的定义与求和域相等性

算子 N~rlund 均值的定义与求和域相等性

1. 广义 N~rlund 均值的定义

广义 N~rlund 均值是一种将传统 N~rlund 均值推广到巴拿赫空间上的算子序列的方法。假设 ( X ) 是一个巴拿赫空间，( (B_k) = (B_0, B_1, \ldots) ) 是 ( B(X,X) ) 中的一系列可逆元素。定义 ( q_0 = Q_0 ) 以及 ( q_n = Q_n - Q_{n-1} )，其中 ( Q_n ) 是 ( B(X,X) ) 中的元素。对于 ( X ) 中的序列 ( x = (x_k) )，我们定义广义 N~rlund 均值 ( (N, q, X) ) 为：

[ N_q(x) = \frac{1}{Q_n} \sum_{k=0}^n Q_k x_k ]

其中 ( Q_n ) 是可逆的，且 ( Q_n x_k ) 表示算子 ( Q_n ) 作用于 ( x_k )。我们说 ( x ) 是 ( (N, q, X) ) 可和至 ( m )，写作 ( x \rightarrow m (N, q, X) )，当且仅当存在 ( m \in X )，使得 ( N_q(x) \rightarrow m ) 在 ( X ) 的范数中。

2. 求和域相等性的定理

关于广义 N~rlund 均值的求和域相等性，我们有以下定理：

定理 7.1

设 ( (P_0’, Q_0’, P_1’, Q_1’, \ldots) ) 是 ( B(X,X) ) 中的一系列可逆算子，并且它们是交换的。假设 ( (N, p, X) ) 是规则的，并且 ( (N, p, X) \subseteq (N, q