8、组合逻辑：布尔函数的表示、简化与卡诺图应用

组合逻辑：布尔函数的表示、简化与卡诺图应用

1. 布尔函数的表示方法

布尔函数有多种表示方式，主要包括解析法、表格法和图形法。

1.1 解析法

布尔函数可以用两种不同的代数形式表示：积之和（SOP）与和之积（POS）。积之和形式更为常见，因为它与实数的代数结构相似。例如：
- 积之和形式：$F = x + yz + x′z$
- 和之积形式：$F = (x + y′)(x′ + y′ + z)(y + z′)$

1.2 表格法

直接表示函数的方法是使用真值表，列出输入变量每种组合对应的函数值。以三变量函数$F$为例，其真值表如下：
| x | y | z | F |
|----|----|----|----|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

将真值表信息转换为积之和形式的步骤如下：
1. 找出函数值为 1 的输入变量组合。
2. 对于每个组合，写出对应的乘积项（变量为 0 时取反，为 1 时取原变量）。
3. 将这些乘积项进行或运算。

例如，当$x = 0$，$y = 0$，$z = 1$时，乘积项为$x′y′z$。将所有函数值为 1 的组合对应的乘积项或起来，就得到了积之和形式的函数。