70、几何功能数据分析的生物医学应用

几何功能数据分析的生物医学应用

1. 引言

医疗数据采集技术，尤其是非侵入性成像技术的进步，使得大量复杂的数据集不断涌现。分析这些数据的目标多种多样，涵盖了从评估正常衰老模式到诊断和监测各种疾病等多个方面。不同类型的成像数据具有不同的特性，例如功能磁共振成像（fMRI）通过血流变化测量动态大脑活动，结构磁共振成像（MRI）利用磁场生成解剖图像，扩散张量磁共振成像（DT - MRI）绘制生物组织中水分子的扩散情况。

尽管这些数据具有明显的异质性，但许多医学成像数据集具有两个共同特征：一是数据的表示空间本质上是非欧几里得的；二是数据本质上是功能性的（无限维）。这两个特性给统计分析带来了重大挑战，因为大多数传统统计方法适用于低维欧几里得空间中的数据。

我们主要关注生物医学成像数据各个方面的表示和统计分析，包括通过概率密度函数（pdfs）分析体素值模式、分析包含振幅和相位变异性的弹性功能数据、研究曲线形状以及医学图像中物体表面的形状。所有这些数据类型都受益于黎曼几何方法进行数据分析，我们将这些不同的数据对象统称为几何数据对象。

对几何数据对象进行统计分析，首先要定义合适的数学表示和度量，用于数据比较。定义好合适的表示空间和该空间上的黎曼度量后，就可以通过度量结构进行统计分析。这种方法可以实现以下几点：
1. 计算均值和协方差等汇总统计量。
2. 通过主成分分析的改进方法探索样本中的变异性。
3. 定义基本统计模型。

下面我们分别对pdfs、弹性功能数据以及曲线和表面的形状进行分析，定义相关的黎曼几何表示空间，并指出每种情况下用于统计分析的黎曼几何的共性。

2. 不同类型几何数据对象的分析