50、形状分析中的次黎曼方法

形状分析中的次黎曼方法

在形状分析领域，次黎曼方法为解决诸多复杂问题提供了强大的工具。本文将深入探讨该方法中的庞特里亚金最大值原理、近似分布以及变形模块等重要内容。

庞特里亚金最大值原理

在最优控制问题中，通常会遇到形如最小化 $\int_{0}^{1} g(q(t), u(t)) dt + G(q(1))$ 的问题，其中 $q$ 是状态，属于状态空间 $Q$，$u$ 是控制，属于空间 $U$。$g(q, u)$ 是与控制相关的状态依赖成本，$f(q, u)$ 决定了给定控制下的状态演化方程。

在一定假设下，这个受动态等式约束的约束最小化问题可以转化为拉格朗日函数的无约束最小化问题。引入协态 $p$，拉格朗日函数为：
$L(q(.), p(.), u(.)) = \int_{0}^{1} (g(q, u) + p^T (\partial_tq - f(q, u)))dt + G(q(1))$
$= [p^T q] 0^1 - \int {0}^{1} (\partial_tp^T q + H_u(q, p))dt + G(q(1))$
其中，哈密顿函数 $H_u(p, q) = p^T f(q, u) - g(q, u)$。

最优性条件 $\partial_{p(.)}L = \partial_{u(.)}L = \partial_{q(.)}L = 0$ 导出以下方程：
$\begin{cases}
\partial_tq(t) = \partial_{p}H_{u(t)}(p(t), q(t)) = f(q(t), u(t)) \
\partial_tp(t) = -\par