51、形状分析中的次黎曼方法

形状分析中的次黎曼方法

1. 简单变形模块

在形状分析中，简单变形模块是构建复杂变形模型的基础。这里介绍两种常见的简单变形模块：固定平移和局部缩放。

1.1 固定平移和局部缩放

• 固定平移 ：控制参数 $\theta = (c, u)$，控制维度 $\dim(H) = 1$，这强烈约束了可能的向量场，但几何描述符是 $(d^2 - d)$ 维的。成本函数 $c_{\theta}(h)$ 可简单选为 $ch^2$，其中 $c$ 为固定常数。
• 局部缩放 ：控制参数 $\theta = c$，同样 $\dim(H) = 1$。对于局部缩放模块，有 $\Omega = R^d$，$H = R$，$\zeta_{\theta}(h) = h \sum_{j = 1}^{3} K_{\sigma}(\cdot, z_j(\theta))d_j$，其中 $K_{\sigma}$ 可能是尺度为 $\sigma$ 的高斯核，对于 $j \in {0, 1, 2}$，$d_j = (\sin(2j\pi/3), \cos(2j\pi/3))$ 且 $z_j(\theta) = \theta + \frac{\sigma}{3} d_j$。无穷小作用由 $\xi_{\theta} : w \in C_{p}^{0}(R^2) \to w(\theta)$ 给出，即缩放中心的速度场，成本为 $c_{\theta}(h) = h^2 \sum_{j,j’} K_{\sigma}(z_j, z_j’)d_{j}^{T} d_{j’}$。不同的向量 $z_j$ 选择会导致其他类型的局部变形。 <