基于张量变换域低秩正则化的图像恢复方法-优快云博客

高光谱图像、磁共振图像、RGB图像等都可以表示成三维数组的形式，在数学上将这种多维数组称为高阶张量，同样，上述三种图像都可以表示成三阶张量 $\chi\in \mathbb{R}^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}$ 。在空间上，图像本身就具有结构相似性，在高光谱图像的第三个模态上，又具有波段上的相关性（MRI、RGB图像都具有相似的性质）。这就使得图像的三阶张量表现出一定的低秩性，因而低秩约束被广泛应用于图像恢复。根据张量的低秩性约束与不同张量秩的定义，又有许多低秩张量补全算法用于图像恢复，比如基于Tucker秩的HaLRTC，基于管秩的TNN，基于TT秩的TMac-TT等。本文将介绍两种TRPCA（Tensor Robust Principal Component Analysis）相关的改进算法，旨在诱导出更低的张量秩。

1. 自适应变换域张量方法(n-TTSVD)

变换域张量的概念最初出现在张量的t-SVD分解中。具体做法如下：

首先，对于张量 $\chi\in \mathbb{R}^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}$ ，沿着第3模态方向进行矩阵化操作，得到矩阵 $X_{(3)}$ 。然后对矩阵 $X_{(3)}$ 的每一列进行傅里叶变换，并进行张量化操作重新构建一个张量 $\widehat{\chi }$ 。最后，对新张量 $\widehat{\chi }$ 的每一个前部切片进行SVD分解，得到3个因子矩阵， $\widehat{U}^{(i)}$ , $\widehat{S}^{(i)}$ , $\widehat{V}^{(i)}$ , $i=1,\cdots ,n_{3}$ , 再分别又由这3个因子矩阵进行逆傅里叶变换并重新构成3个张量，从而得到了张量的t-SVD分解：