16、几何细分与多尺度变换解析

几何细分与多尺度变换解析

1. 细分规则收敛性现状

不同定义方式的规则有时更易于分析。例如，通过中点插入后进行 k 轮平均定义的 Lane - Riesenfeld 细分规则，可作为角切割规则转移到任何完整的黎曼流形上，并具有连续极限。插值四点规则也能以类似方式推广到流形情况，同样具有连续极限。然而，通过 Fréchet 均值的推广方式则较难分析。

收敛性方面，对于特殊规则（插值、角切割）、特殊空间（Hadamard 空间和 Cartan - Hadamard 流形）以及单位球面和单变量规则的情况，几何细分规则的收敛性处理较为令人满意。但正曲率的一般流形尚未得到处理，多元数据仅在 Hadamard 度量空间和具有非负系数的细分规则中得到处理。在其他情况下，收敛仅发生在“足够密集”的输入数据中，理论上对 δ(p) 的上限要求比数值证据推断的要小得多。

2. 细分规则的平滑性分析

2.1 极限的导数

细分规则 S 作用于序列 p 收敛到极限函数 S∞p。对于导数，可用有限差分近似。若 S 线性作用，若 S∗ 有连续极限，则 S 有 C1 平滑极限，且 (S∞p)′ = S∗∞p，此结论可迭代处理高阶导数。对于多元数据，情况类似但更复杂。

导数近似公式如下：
- 一阶导数：((S^{\infty}p)’(\xi) \approx \frac{f_k(\xi + h) - f_k(\xi)}{h} = N^k((S^kp) {N^k\xi + 1} - (S^kp) {N^k\xi}) = (\Delta(NS)^kp) {N^k\xi} = (S^{ \ k}\Del