23、具有比例重叠的片段链问题研究

具有比例重叠的片段链问题研究

1. 子结构最优性定理

在解决具有比例长度重叠的最大加权链（MWC with Proportional Length Overlaps）问题时，有一个重要的子结构最优性定理。设 (m, i_1, \ldots, i_m) 是属于 ([1, n]) 的整数，(D := (B_{i_1}, \ldots, B_{i_m})) 是 (C_{i_m}) 中链的最优加权链，那么 (D’ := (B_{i_1}, \ldots, B_{i_{m - 1}})) 就是 (C_{i_{m - 1}}) 中链的最优加权链。

基于这个定理，该问题可以通过动态规划算法来解决。此算法使用两个 (n) 元素数组 (W[.]) 和 (Pred[.])，分别存储对于所有 (1 \leq i \leq n) 的 (W(B_i)) 值和以 (B_i) 结尾的最优加权链中 (B_i) 的前一个元素。该算法的时间复杂度为 (O(n^2))，空间复杂度为 (O(n))。

2. 扫描线算法概述

为了解决具有比例长度重叠的 MWC 问题，提出了一种扫描线算法。以下是该算法的详细步骤：
1. 数据准备 ：设 (P) 是一个包含 (n) 个盒子 (B) 的 (l()) 和 (u()) 角对应的 (2n) 个点的数组。点 (P) 按 (x) 坐标排序，在 (x) 坐标相同的点中，下顶点排在上顶点之前。对于每个点，记录它对应的盒子和角。
2. 初始化 ：

sort_on_x_coordinate(