12、矩阵计算基础：信号分解与低秩矩阵逼近

矩阵计算基础：信号分解与低秩矩阵逼近

1. 信号分解方法

在信号处理领域，信号分解是一项重要的技术，它有助于我们从复杂的信号中提取出有用的信息。以带有噪声的Barbara图像的一部分为例，我们来介绍几种信号分解方法。

1.1 稀疏信号子空间分解（3SD）

选取带有噪声的Barbara图像的一部分（如图4a），展示了稀疏信号子空间分解（3SD）及其对应的恢复图像（如图4b）。在3SD中，学习到的过完备字典D中的128个原子$d_k$按照其能量$|\beta_k|_2$降序排列。根据频率准则从字典D中选择32个主信号原子，它们按照频率$|\beta_k|_0$降序排列构成信号子空间。可以发现，过完备字典D中一些主原子并不在能量最大的前32个原子之中。恢复后的图像在信号子空间上明显去噪，并且通过保留精细细节（SSIM = 0.86）和抑制强噪声（PSNR = 36.41）有了显著改善。而噪声子空间上的残差图像包含一些非常嘈杂的信息，这是因为过完备字典的原子并非相互独立。

1.2 传统稀疏分解

对于相同的示例，经典的稀疏分解如图4c所示，使用K - SVD算法，其中允许的误差容限$\epsilon$（在公式(4)中）设置为较大值以过滤噪声。恢复后的图像S具有较高的PSNR（29.62），但明显丢失了弱信息（SSIM = 0.82）。这是因为在字典学习过程中，根据公式(4)无法同时最小化信号失真和残差噪声。

1.3 基于PCA的子空间分解

基于PCA的子空间分解如图4d所示。64个分量是正交归一的，32个主分量具有最大的方差。通过投影到信号子空间恢复的图像相当嘈杂（PSNR = 29.62），这是因