9、三阶半非负典范多线性分解算法解析

三阶半非负典范多线性分解算法解析

1. 问题重述

在半非负 INDSCAL 算法中，现有的算法基于成本函数（4）的最小化。当数据满足半非负 INDSCAL 模型时，这些算法能比 ACDC 更好地估计矩阵 A，但计算复杂度较高。为了利用快速收敛特性，我们提出使用基于矩阵 A 基本因式分解的准则（7）。然而，在通过最小化（7）计算 A 的逆 A⁻¹时，很难对 A 施加非负约束。

考虑以下假设：
- 矩阵非奇异；
- 矩阵不包含零元素。

此时，矩阵的每个前向切片都是非奇异的，其逆可表示为：
[ (8) ]
为简化表示，我们用 ( C^{(k,-1)} ) 表示 ( (C^{(k)})^{-1} )。式（8）表明 ( C^{(k,-1)} ) 也保留了联合可对角化结构。此外，我们用 A 作为联合对角化器，而不是 A⁻¹。通过最小化基于（7）修改后的准则（9）来估计 A：
[ (9) ]
通过这种操作，大多数基于准则（7）的算法现在可以直接估计 A，但都不能保证 A 的非负性。为了对 A 施加非负约束，我们采用变量的平方变换：
[ (10) ]
其中。问题 2 可重新表述为问题 3：给定，找到平方非负加载矩阵 ( A = B^{\boxdot 2} )，使得 B 最小化以下成本函数：
[ (11) ]

2. B 的 LU 和 QR 参数化

为了最小化（11），可以考虑类似梯度的方法，但这种方法的性能对初始猜测和搜索步长敏感，并且由于存在 Hadamard 积，计算（11）关于 B 的梯度计算成本高。其他使用类似 Jacobi 过程的算法将 A 参数化为几个特