6、二维等参元的理论与实现

二维等参元的理论与实现

1. 二维等参元基础

二维等参元基于坐标和位移函数的参数化定义。相同的形函数既用于指定单元形状，也用于插值位移场。线性和二次四边形二维等参元是常见的类型，它们都映射到局部坐标系 $-1 \leq \xi, \eta \leq 1$ 的正方形区域。

位移和坐标的插值方式如下：
- 位移插值：
- $u = \sum N_i u_i$
- $v = \sum N_i v_i$
- 矩阵形式：${u} = [N]{q}$，其中 ${u} = {u v}$，${q} = {u_1 v_1 u_2 v_2 …}$，$[N] = \begin{bmatrix} N_1 & 0 & N_2 & 0 & … \ 0 & N_1 & 0 & N_2 & … \end{bmatrix}$
- 坐标插值：
- $x = \sum N_i x_i$
- $y = \sum N_i y_i$
- 矩阵形式：${x} = [N]{x_e}$，其中 ${x} = {x y}$，${x_e} = {x_1 y_1 x_2 y_2 …}$

这表明单元形状由插值函数 $N_i$ 决定，因此在有限元方法中，插值函数也被称为形函数。

2. 形函数

• 线性单元形函数 ：对于具有四个节点的线性二维等参元，形函数为 $N_i = \frac{1}{4}(1 + \xi_0)(1 + \eta_0)$，其中 $\xi_0 = \xi \xi_i$，$\eta_0 = \