56、流量扩展与软件实验基础设施的复杂性研究

流量扩展与软件实验基础设施的复杂性研究

流量扩展问题的复杂性

流量扩展（FlowExpansion）是一个优化问题，可视为最小成本流问题的变体。在一些简单情况下，它就已经是NP难问题。
- 单源单汇串并联图的F - 流量扩展问题 ：在具有一个源和一个汇的串并联图中，F - 流量扩展（F - FlowExpansion）问题可以在$O(n^3 · min{C^2, U^2})$时间内解决，其中$C$和$U$分别是边成本和容量的上限。
- 电气流量扩展问题 ：对于电气流量的类似问题，即EF - 流量扩展（EF - FlowExpansion），即使所有容量为1且忽略边成本，它也是NP难的。这意味着除非$P = NP$，否则不存在该问题的伪多项式时间算法。
- 特殊子图的流量扩展问题 ：不过，对于串并联图的一个子类，即由并行路径块串联组成的图（称为sps - 图，即串 - 并 - 串图），流量扩展问题存在伪多项式时间算法。

下面是一个简单的总结表格：
|问题类型|图类型|时间复杂度|是否NP难|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|F - 流量扩展|单源单汇串并联图|$O(n^3 · min{C^2, U^2})$|否|
|EF - 流量扩展|一般情况|无伪多项式时间算法（除非$P = NP$）|是|
|流量扩展|sps - 图|伪多项式时间|否|

在sps - 图中解决流量扩展问题的关键在于将其转化为最小背包（MinKnapsack）问题。具体步骤如下：
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