43、平衡满意划分与蜘蛛图上的多旅行商问题研究

平衡满意划分与蜘蛛图上的多旅行商问题研究

1. 平衡满意划分问题

平衡满意划分问题涉及对图进行特定的划分，以满足特定条件。假设有图 (G)，且 (V□⊆V2)。对于图 (G’)，其平衡满意划分 ((V ′ 1, V ′_2)) 定义如下：
(V ′_1 = V1 ∪ \bigcup {i = 1}^{n′} Y_{u_i} ∪{s, t} ∪C)
(V ′ 2 = V2 ∪ \bigcup {i = 1}^{n′} X_{u_i} ∪{s′, t′} ∪S′ ∪T ′)

显然，所有顶点都能满足条件。由于在两部分中添加的顶点数量相等，所以 ((V ′_1, V ′_2)) 是图 (G’) 的平衡满意划分。这证明了如果实例 (I) 是肯定实例，那么实例 (I’) 也是肯定实例。

反之，假设图 (G’) 存在平衡满意划分 ((V ′ 1, V ′_2))。首先证明 (V□) 的所有顶点都在同一部分。因为 (N {G′}[s] = N_{G′}[t])，所以 (s) 和 (t) 会在同一部分，不妨假设它们在 (V ′ 1) 中。对于 (1 ≤ i ≤ n′)，每个顶点 (y {u_i}^j) 与 ({u_i, s, t}) 这三个顶点相邻，由于 ({s, t}) 属于 (V ′ 1)，所以对于 (1 ≤ j ≤ 4n)，(y {u_i}^j) 也会在 (V ′_1) 中。同理，因为 (s, t ∈ V ′_1)，对于 (1 ≤ i ≤ 4n)，每个 (c_i) 也会在 (V ′_1) 中。

为了推出矛盾，假设 (V□) 的顶点分布在 (V