23、距离享乐博弈与分布式独立集算法研究

距离享乐博弈与分布式独立集算法研究

距离享乐博弈

在距离享乐博弈中，我们考虑实例 ⟨G, α⟩，其中 α 向量有着不同的性质，如递减和递增。

递减向量情况

当 α 是递减且归一化的向量时，根据相关定理有如下结论：
- 价格界限 ：给定递减向量 α，价格无政府状态（PoA(α)） ≤ n - 1，价格稳定性（PoS(α)） ≤ n / 2。
- 星型划分 ：星型划分对于达到较低的价格稳定性至关重要，因为星型子图能提供较高的社会福利。具体来说，给定实例 ⟨G, α⟩，一个星型划分 S ∈ Σ(G) 且 α 递减归一化时，社会福利 SW(S) ≥ 1 / 2 + α₂ · (n - 1)。特别地，当 α₂ ≥ 1 / 2 时，SW(S) ≥ n / 2。

不过，并非所有的星型划分都是纳什稳定的。星型划分的存在性在图 G 的围长 ≥ 4 时是有保证的，但当围长恰好为 4 时，可能不存在稳定的星型划分。即使围长 ≥ 5，也不能保证对于每个 α₂，星型划分都是稳定的。

下面通过一个表格总结星型划分的相关性质：
| 围长条件 | 星型划分存在性 | 星型划分稳定性 |
| ---- | ---- | ---- |
| 围长 ≥ 4 | 存在 | 不一定稳定 |
| 围长 = 4 | 存在 | 可能不稳定 |
| 围长 ≥ 5 | 存在 | 对于某些 α₂ 不稳定 |

当围长 ≥ 5 且 α₂ ≤ 1 / 2 时，有以下重要结论：
- 定理 5