45、扩展Caucal层次结构的探索

扩展Caucal层次结构的探索

在计算机科学的形式语言和自动机理论领域，Caucal层次结构及其相关的递归方案、高阶下推自动机等概念有着重要的研究价值。本文将深入探讨这些概念之间的联系，以及它们在MSO（Monadic Second-Order）解释下的性质。

递归方案与树的生成

递归方案是一种重要的形式化工具，其阶定义为非终结符阶的最大值。与Caucal层次结构中的树不同，递归方案生成的树是节点标记的，实际上是无限项。对于有限集Σ和r ∈ N，最大元数为r的Σ节点标记树的形式为a⟨T1, …, Tk⟩，其中a ∈ Σ，k ≤ r，T1, …, Tk也是最大元数为r的Σ节点标记树。

对于树T = a⟨T1, …, Tk⟩，其顶点集定义如下：
- ε是T的一个顶点，标记为a。
- 如果u是某个Ti（i ∈ {1, …, k}）的顶点，标记为b，则iu是T的一个顶点，也标记为b。

这样的树可以看作是一个关系结构，其签名包含所有a ∈ Σ的一元关系名La和所有i ∈ {1, …, r}的二元关系名Chi。其论域是T的顶点集，对于a ∈ Σ，关系LT a包含所有标记为a的顶点；对于i ∈ {1, …, r}，第i个孩子关系Chi包含对(u, ui)，其中u和ui都是T的顶点。

给定一个递归方案G，我们定义了一种重写关系→G。对于排序为o的项，我们有N L1 … Lk →G K[L1/x1, …, Lk/xk]，其中N是一个非终结符，规则R(N)为N x1 … xk →K。然后通过共归纳定义了由G从项K生成的树：
- 如果存在从K到形式为a⟨L1, …, Lk⟩的项的归约序列，则树等于a⟨T1, …, Tk⟩，其中T1,