14、有序自动机的变体研究

有序自动机的变体研究

1. 核心定理

设 C 为同态的一个范畴，映射 α 和 β 是所有正 C - 有序半自动机变体的格与所有正 C - 正则语言变体的格之间的互逆同构。对于正则语言的正 C - 变体 V，若其对取补运算封闭，则对应的正 C - 有序半自动机变体 β(V) = V 对取对偶有序半自动机也封闭。并且，正 C - 变体 β(V) = V 可由半自动机类 { (Q, A, ·) | (Q, A, ·, ≤) ∈ V(A) } 完全描述。由此，正则语言的 C - 变体与半自动机的 C - 变体之间存在一一对应关系。

2. 自动机类型示例

2.1 无计数器自动机

• 定义 ：对于半自动机 (Q, A, ·)，若对于每个 u ∈ A∗，q ∈ Q 和 n ∈ N，当 q · uⁿ = q 时，有 q · u = q，则称该半自动机为无计数器自动机。
• 性质 ：所有无计数器半自动机构成半自动机的一个变体。无计数器半自动机的不相交并、子半自动机、乘积和 f - 重命名仍是无计数器半自动机。
• 语言对应 ：无星号语言恰好是由无计数器半自动机识别的语言。不过，测试由确定有限自动机（DFA）给出的正则语言是否为非周期的是一个 PSPACE 完全问题。

2.2 无环自动机

• 定义 ：对于半自动机 (Q, A, ·)，若对于每个 u ∈ A⁺ 和 q ∈ Q，当 q · u = q 时，意味