3、概率和超度量有限自动机计数及收缩自动机与P系统研究

概率和超度量有限自动机计数及收缩自动机与P系统研究

1. 度量与范数基础

在数学领域，度量和范数是非常重要的概念。度量函数用于衡量集合中元素之间的距离，它满足以下三个性质：
- 性质1 ：$d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$。
- 性质2 ：$d(x, y) = d(y, x)$。
- 性质3 ：对于所有的 $z \in X$，$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$。

如果第三个性质可以被更强的形式——强三角不等式 $d(x, y) \leq \max {d(x, z), d(z, y)}$ 所替代，那么这种范数被称为超度量范数；否则，称为阿基米德范数。

当集合 $X$ 配备了加法和乘法运算（并形成一个向量空间）时，就可以引入范数的概念。元素到零的距离 $d(x, 0)$ 被称为该元素的范数或绝对值，记为 $|x|$。范数满足以下性质：
- 性质1 ：$|x| = 0$ 当且仅当 $x = 0$。
- 性质2 ：$|x * y| = |x| * |y|$。
- 性质3 ：$|x + y| \leq |x| + |y|$（三角不等式）。

对于每一个非零有理数 $\alpha$，都存在唯一的质因数分解 $\alpha = \pm 2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{\alpha_5}7^{\alpha_7} \cdots$