15、样条插值方法详解：二次与三次样条

样条插值方法详解：二次与三次样条

在数据处理和分析中，样条插值是一种常用的方法，用于在给定的数据点之间进行平滑的曲线拟合。本文将详细介绍二次样条和三次样条插值方法，包括它们的原理、计算步骤以及实际应用示例。

1. 二次样条插值

二次样条插值使用二阶多项式在数据点之间的区间进行插值。对于给定的 $n$ 个数据点，存在 $n - 1$ 个区间，每个区间 $i$（在点 $x_i$ 和 $x_{i + 1}$ 之间）的多项式方程采用标准形式：
[f_i(x) = a_i x^2 + b_i x + c_i]
为了确定这些多项式的系数 $a_i$、$b_i$ 和 $c_i$，需要满足以下条件：
1. 多项式通过区间端点 ：每个多项式 $f_i(x)$ 必须通过区间的端点 $(x_i, y_i)$ 和 $(x_{i + 1}, y_{i + 1})$，即 $f_i(x_i) = y_i$ 和 $f_i(x_{i + 1}) = y_{i + 1}$。由此可得：
[a_i x_i^2 + b_i x_i + c_i = y_i]
[a_i x_{i + 1}^2 + b_i x_{i + 1} + c_i = y_{i + 1}]
由于有 $n - 1$ 个区间，这些条件产生 $2(n - 1) = 2n - 2$ 个方程。
2. 相邻多项式斜率相等 ：在二次样条的每个区间内，相邻多项式的斜率相等，以确保曲线在区间内的斜率连续。第 $i$ 个多项式的一阶导数为：
[f_i^\prime(x) = \frac{df}{dx} = 2a_i x + b_i]
对