9、数值方法：双拉格朗日插值与数值微分

数值方法：双拉格朗日插值与数值微分

1. 双拉格朗日插值

双拉格朗日插值是将拉格朗日插值方法应用于二维情况，从而可以对表格中的所有数据点应用插值公式。假设函数表格有 $N$ 行和 $M$ 列，点的坐标表示为 $(x_m, y_n)$，函数值表示为 $F(x_m, y_n)$。双拉格朗日插值公式如下：
[
L_{2D}(x, y) = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} \phi_m(x) \Psi_n(y) F(x_m, y_n)
]
其中，$\phi_m$ 和 $\Psi_n$ 的表达式为：
[
\begin{cases}
\phi_m(x) = \prod_{(k = 1, k \neq m)}^{M} \frac{x - x_k}{x_m - x_k} \
\psi_n(y) = \prod_{(k = 1, k \neq m)}^{N} \frac{y - y_k}{y_n - y_k}
\end{cases}
]
可以观察到，$\phi_m(x) \Psi_n(y)$ 在除 $(x_m, y_n)$ 之外的所有数据点上取值为零。当 $M = N = 2$ 时，上述公式可简化为双线性插值公式。此外，可以使用切比雪夫点或洛巴托点来选择 $x_m$ 和 $y_n$。

2. 数值微分方法概述

获取函数的导数是解决各种工程问题最广泛使用的数学工具之一，而使用计算机计算导数是一个值得探讨的问题。数值微分方法主要包括插值多项式求导、差分近似和泰勒展开求导等，同时还会涉及偏导数和高阶导数的差分近似。

3. 插值多项式求导