7、离散时间傅里叶级数与变换：原理、应用与实例解析

离散时间傅里叶级数与变换：原理、应用与实例解析

1. 离散时间傅里叶级数（DTFS）

1.1 离散傅里叶级数基础

对于有限长信号 (x[n])，离散傅里叶变换（DFT）是该信号周期延拓 (\tilde{x}[n]) 的离散傅里叶级数（DFS）。另一种理解 DFT 的方式是，它是连续离散时间傅里叶变换（DTFT）的采样。当采样频率高于奈奎斯特频率时，就可以从采样信号中重建原始信号。采样信号的 DTFT 是原始信号频谱在以采样频率为间隔的频率上的一系列复制。由于 DTFT 是连续且周期的，我们可以将其进一步划分为区间，仍然能够重建 DTFT 以及原始信号，这种对 DTFT 进行划分或采样的操作称为 DFT。

1.2 实例分析

1.2.1 例 5.2

• 信号 (x[n] = \cos 3\pi n) ：该信号不是周期信号，因此不能展开为傅里叶级数。
• 信号 (x[n] = [1, 1, 0, 0]) ：
  • DFS 表达式为 (X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N - 1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn})，这里 (N = 4)，则 (X[k] = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-j\frac{\pi}{2}kn})。
  • 当 (k = 0) 时，(X[0] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{0} = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] = 1 + 1