泊松分布推导

泊松与二项分布关系
最新推荐文章于 2025-10-15 10:36:29 发布
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本文探讨了泊松分布与二项分布之间的联系，指出泊松分布是当二项分布中试验次数n极大而每次试验成功概率p极小时的极限形式。通过实例解释了这两种分布的应用场景。

https://blog.youkuaiyun.com/u013346007/article/details/53044417


结论：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

二项分布是说，已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从于二项分布。

泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数，而且“某件事情发生所用的时间”是可以忽略的。

二项分布的数学期望E(X)，即时间发生次数的期望，即是泊松分布的lambda


先说结论：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

二项分布是说，已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从于二项分布。

泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数，而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如，在五分钟内，电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。

假如你把“连续的时间”分割成无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”，这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份，因此n(试验次数)很大。所以，泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。

因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布，它可以描述非常多的随机的自然界现象，因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。


可以用等公交车作为例子：
某个公交站台一个小时内出现了的公交车的数量 就用泊松分布来表示
某个公交站台任意两辆公交车出现的间隔时间 就用指数分布来表示

知乎：https://www.zhihu.com/question/26441147


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泊松分布是描述稀有事件发生次数的离散概率分布，适用于满足独立性、平稳性和普通性条件的事件。其概率质量函数P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ为单位时间/空间内事件的平均发生率。泊松分布具有期望和方差均为λ的特性，当二项分布的n大p小时可用泊松近似。应用时需注意λ恒定性和事件独立性，并用均值方差关系验证适用性。Python中可用scipy.stats.poisson进行相关计算和可视化。该分布在客服电话、车辆到达等场景中有广泛应用。
证明 泊松分布 的期望和方差
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假设随机变量 ( X ) 表示在时间间隔 ( t ) 内某事件发生的次数，并且该事件在单位时间内发生的平均次数为 ( \lambda )。那么 ( X ) 服从参数为 ( \lambda ) 的泊松分布，记作。期望值（Expectation）表示随机变量的平均值。这些结果表明，在固定时间间隔内某事件发生的次数的平均值是 ( \lambda )，而离散程度也由 ( \lambda ) 决定。首先，我们计算 ( \mathbb{E}(X^2) )。方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度。
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算法真难， 即使csdn,知乎有很多解答， 但也不是能一笔带过， 一眼看懂。 总结些相关算法，希望提高自己的同时能帮到更多人， 如有不妥之处， 欢迎指正
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从数学的角度推导了泊松分布的由来，每一步详细解释，可放心食用~
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