14、二阶拟线性椭圆偏微分方程的双网格 hp - DGFEM方法

二阶拟线性椭圆偏微分方程的双网格 hp - DGFEM方法

1. 引言

在数值求解二阶拟线性椭圆边值问题时，提出了一类基于非线性牛顿求解器单步应用的双网格 hp 版本间断伽辽金有限元方法（DGFEM）。该问题的数学模型如下：
[
\begin{cases}
-\nabla \cdot (\mu(x, |\nabla u|)\nabla u) = f & \text{in } \Omega \
u = 0 & \text{on } \Gamma
\end{cases}
]
其中，(\Omega) 是 (R^2) 中的有界多边形区域，边界为 (\Gamma)，(f \in L^2(\Omega))，并且 (\mu \in C^2(\overline{\Omega} \times [0, \infty))) 满足单调性条件：
[m_{\mu}(t - s) \leq \mu(x, t)t - \mu(x, s)s \leq M_{\mu}(t - s), \quad t \geq s \geq 0, \quad x \in \overline{\Omega}]

文章的结构如下：
- 第 2 节介绍双网格内部惩罚（IP）DGFEM。
- 第 3 节和第 4 节分别进行先验和后验误差分析。
- 第 5 节通过数值实验验证理论误差界。

2. 双网格 hp 版本 IP DGFEM

2.1 网格和有限元空间

考虑将 (\Omega \subset R^2) 划分为开的不相交单元 (\kappa) 的形状规则网格 (T_h)，