6、纳米光学多物理建模与多尺度计算

纳米光学多物理建模与多尺度计算

1. 麦克斯韦 - 科恩 - 沈吕九（Maxwell - KS）系统

在纳米光学中，我们可以将含时密度泛函理论（TD - CDFT）融入半经典理论。具体做法是，用TD - CDFT通过特定公式得到的电流密度和电子密度，替换由薛定谔方程解给出的相应密度。这样，麦克斯韦方程和含时科恩 - 沈吕九方程就构成了一个耦合系统，用于描述电磁场（A, φ）以及电流和电子密度（j, ρ）。它们之间相互为泛函关系，即：
[
\begin{cases}
(A, \varphi) = M(j, \rho) \
(j, \rho) = T(A, \varphi)
\end{cases}
]
这表明它们必须自洽确定，我们将上述方程称为纳米光学的麦克斯韦 - 科恩 - 沈吕九（Maxwell - KS）方程。

对于大多数纳米光学应用，当感应电磁场的波长与纳米结构的尺寸相当或更大时，感应电磁场的变化尺度比感应电流和电子密度大得多。在数值计算方面，求解麦克斯韦方程所需的网格尺寸要比处理TD - CDFT所需的区域大得多。因此，直接进行空间离散化后，耦合的Maxwell - KS系统可能会出现病态情况。

2. 线性响应理论

2.1 线性化的麦克斯韦 - KS系统

通过格林函数将麦克斯韦方程改写为积分形式，可以发现电磁场实际上是电子和电流密度的线性泛函。另一方面，TD - CDFT的线性响应理论描述了电磁场输入与微观量输出之间的线性关系。结合这两种理论，我们可以得到关于感应电磁场（δA, δφ）以及感应电子和电流密度（δj, δρ）的线性系统：
[