14、Z变换相关知识详解

Z变换相关知识详解

1. 逆Z变换

逆Z变换是信号处理中一个重要的操作，它能将Z域的函数转换回时域序列。以下是几种不同形式Z变换求逆的方法。

1.1 有限阶多项式形式的Z变换

若(X(z))是有限阶多项式，那么(x(n))是有限长序列，(x(n))就是(X(z))中(z^{-n})的系数。例如，若(X(z))中(z^0)的系数为(4)，则(x(0)=4)；若(z^{-2})和(z^{2})的系数为(3)，则(x(2)=x(-2)=3)。

1.2 一阶有理函数和形式的Z变换

当(X(z))是两个一阶有理函数的和，且其收敛域是圆的外部时，(x(n))是右边序列。可以利用右边指数序列的Z变换对来轻松求逆。

1.3 分母为二次式的有理函数形式的Z变换

对于分母是(z)的二次式的有理函数(X(z))，在求逆Z变换前，需要对分母进行因式分解并进行部分分式展开。例如：
- 若(X(z))有特定形式，因为(x(n))是右边序列，可按相应规则求逆。
- 对于(X(z)=\frac{1}{(1 - z^{-1})(1 - z^{-2})(1 - \cdots)})这种形式，可通过部分分式展开求逆，也可将(x(n))看作两个序列的卷积来求解。设(x(n)=x_1(n) x_2(n))，其中(x_1(n)=u(n))，(x_2(n))是上采样因子为(2)的阶跃函数，(x_1(n) x_2(n)={1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, \cdots})，与部分分式展开结果相同。

1.4 二阶系统的Z变换

对于二阶系统的Z