[译]齐次坐标系

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问题：两条平行直线可以相交

在欧氏几何中，同一平面的两条直线是不可能相交的，这是大家都熟悉的常识。

但是，在一个透视空间中，这是不正确的。
上图的铁路随着距离我们的视线越来越远，它们变得越狭长。最终，视线中的两条平行线在无限远处的一点相交了。

欧式几何非常适合描述我们的2D/3D几何空间，但是不足以来描述透视空间了。（实际上，欧式几何是透视几何的子集）。在笛卡尔坐标系中，一个二维坐标可以用$(x,y)$标志。

那么当点位于无线远的位置该怎么办？无限远处的点可以是$(\infty,\infty)$，这在欧式几何空间中是没有意义的。在透视空间中，平行的直线在无限远处会相交，这在欧式及几何中是不可能的。数学家发现了一种解决这个问题的方法。

齐次坐标系

奥古斯特 费迪南德 莫比乌斯，发明了齐次坐标系，使得在透视空间中对图形和几何的计算成为了可能。
齐次裁剪空间使用N+1个数字描述N维空间的方法。

对于二维的齐次坐标系，我们使用额外的 $w$ 值加入到我们现存的坐标系中。这样，笛卡尔坐标系中的$(X,Y)$在齐次坐标系下可以表示为$(x,y,w)$，其中，$X,Y,x,y,w$满足下列公式：

$$X = x / w$$
$$Y = y / w$$

举例来说，笛卡尔坐标系下的$(1,2)$在齐次坐标系下表示为$(1,2,1)$。如果点$(1,2)$移向了无穷远远处，在笛卡尔坐标系下是$(\infty,\infty)$，在齐次坐标系下是$(1,2,0)$,这是因为:

$$(1/0, 2/0) \approx (\infty,\infty)$$ ，注意，我们可以使用 $\infty$来描述一个无穷远处的点。

为何命名为齐次的？

正如之前所提到的，为了将齐次坐标系$(x,y,w)$转换为笛卡尔坐标系，我们仅仅用$w$去除$x,y$。
从这个过程中我们可以发现一个重要的事实，让我们好好观察接下来的例子。

$$(1, 2, 3) => (1/3, 2/3)$$
$$(2, 4, 6) => (2/6, 4/6) => (1/3, 2/3)$$
$$(3, 6, 9) => (3/9, 6/9) => (1/3, 2/3)$$

正如你所见，$(1,2,3), (2,4,6),(3,6,9)$对应同一个笛卡尔系的坐标，任意形如$(1a,2a,3a)$的齐次坐标系点都对应同一个笛卡尔系坐标。因此，我们说这些点是“齐次”的，换句话说，齐次坐标系具有锁房不变性（scale invariant）。

证明 ：平行线可以相交

考虑下述的欧式空间的线性空间。

$$\begin{cases} \text{Ax + By + C = 0}\\ \text{Ax + By + D = 0} \end{cases}$$

显然，因为$C \not= D$，所以上述方程无解。

又如果$C=D$，那么上述两个方程是等价的。

让我们分别用$x/w,y/w$来代替$x,y$，重写这个方程组。

$$\begin{cases} \text{Ax /w + By/w + C/w = 0}\\ \text{Ax /w+ By/w + D/w = 0} \end{cases}$$

现在我们有解$(x,y,0)$，因为$(C-D)w = 0$，所以$w=0$。因此，两条平行线在$(x,y,0)$相交，一个无穷远处的点。

齐次坐标系非常有用，是计算机图形学的基础概念，在将3D场景投影到2D平面时经常用到。