【BZOJ4259】残缺的字符串

最新推荐文章于 2022-01-08 21:16:34 发布

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【内容】FFT/NTT

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）解决含有通配符的字符串匹配问题的方法。通过对字符串进行特殊处理并利用FFT进行高效计算，解决了传统算法无法应对的问题。文章详细解释了算法原理及其实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

BZOJ4259(权限题)

【前置技能】

FFT/NTT

【题解】

字符串中出现了通配符，一般的字符串算法就失去效果了。
先忽略通配符的问题。令每个位置 $A_k=\displaystyle\sum_{i=0}^{LenT-1} (S_{i+k-LenT+1}-T_i)$ ，若 $A_k=0$ ，则说明 $T$ 与 $S [k - L e n T + 1, k]$ 匹配。但发现这可能会出错，相减项有可能会正负抵消，如字符串ab和ba就会被认为是匹配的。得到一种解决方法：将求和中的减法变成相减之后平方就可以避免抵消的问题了。
把模式串翻转一下，把平方展开，发现是卷积的形式。那么通配符的问题也很好想明白了，在式子上再乘上 $T_i*S_i$ ，其中通配符的值为零即可。
最后的式子： $A_k=\displaystyle\sum_{i=0}^{k} (T_{k-i}*S_i^3)-2*\displaystyle\sum_{i=0}^{k} (T_{k-i}^2*S_i^2)+\displaystyle\sum_{i=0}^{k} (T_{k-i}^3*S_i)$ 。
如果FFT精度处理得很不好的话，有可能会过不去。
时间复杂度 $O (N l o g N)$

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define INF	0x3f3f3f3f
#define	LL	long long
#define	MAXS	300010
#define	MAXN	1048577
#define	eps	1
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
int n, m, s[MAXN], t[MAXN], cnt; 
char S[MAXS], T[MAXS];
int N, LOG, rev[MAXN];
struct dot{double x, y;}A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN], tmp[MAXN], tnp[MAXN];
dot operator + (dot a, dot b) {return (dot){a.x + b.x, a.y + b.y};}
dot operator - (dot a, dot b) {return (dot){a.x - b.x, a.y - b.y};}
dot operator * (dot a, dot b) {return (dot){a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x};}
dot operator / (dot a, double k) {return (dot){a.x / k, a.y / k};}

template <typename T> void chkmin(T &x, T y){x = min(x, y);}
template <typename T> void chkmax(T &x, T y){x = max(x, y);}
template <typename T> void read(T &x){
	x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while (isdigit(ch)) {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	x *= f;
}

void fft_init(){
	N = 1, LOG = 0;
	while (N < n + m) N <<= 1, ++LOG;
	for (int i = 1; i < N; ++i)
		rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (LOG - 1));
}

void fft(dot *a, int opt){
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		if (rev[i] < i) swap(a[rev[i]], a[i]);
	for (int len = 2; len <= N; len <<= 1){
		dot delta = (dot){cos(pi * 2 / len), sin(pi * 2 / len * opt)};
		for (int i = 0; i < N; i += len){
			dot cur = (dot){1, 0};
			for (int j = i, t = i + len / 2; t < i + len; ++j, ++t){
				dot tmp = a[j], tnp = a[t] * cur;
				a[j] = tmp + tnp, a[t] = tmp - tnp;
				cur = cur * delta;
			}
		}
	}
	if (opt == -1){
		for (int i = 0; i < N; ++i)
			a[i] = a[i] / (1.0 * N);
	}
}

int id(char ch){
	if (ch == '*') return 0;
	else return (ch - 'a' + 1);
}

bool sam(double a, double b){
	return (a >= b - eps && a <= b + eps);
}

int main(){
	read(n), read(m);
	scanf("%s", S);
	scanf("%s", T);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		s[i] = id(S[n - i - 1]);
	for (int i = 0; i < m; ++i)
		t[i] = id(T[i]);
	fft_init();
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		tmp[i].x = s[i] * s[i] * s[i], tnp[i].x = t[i], tmp[i].y = 0, tnp[i].y = 0;
	fft(tmp, 1), fft(tnp, 1);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		A[i] = tmp[i] * tnp[i];
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		tmp[i].x = s[i] * s[i], tnp[i].x = t[i] * t[i], tmp[i].y = 0, tnp[i].y = 0;
	fft(tmp, 1), fft(tnp, 1);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		B[i] = tmp[i] * tnp[i];
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		tmp[i].x = s[i], tnp[i].x = t[i] * t[i] * t[i], tmp[i].y = 0, tnp[i].y = 0;
	fft(tmp, 1), fft(tnp, 1);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		C[i] = tmp[i] * tnp[i];
	fft(A, -1), fft(B, -1), fft(C, -1);
	for (int i = 0; i < N; ++i)
		A[i] = A[i] - (B[i] / 0.5) + C[i];
	for (int i = n - 1; i < m; ++i)
		if (sam(A[i].x, 0)) ++cnt;
	printf("%d\n", cnt);
	int fla = 0;
	for (int i = n - 1; i < m; ++i)
		if (sam(A[i].x, 0)) {
			if (fla) printf(" ");
			if (!fla) fla = 1;
			printf("%d", i - (n - 2));
		}
	if (cnt != 0) printf("\n");
	return 0;
}