欧几里得算法求最大公约数

Sometimes your whole life boils down to one insane move.

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第二次更新欧几里得算法,写下这篇文章是在2019年初，时隔9个月，再次更新数论专题。
发现第一篇博客排版太丑了，重新排了一下，另外改善了代码，更加精简了。

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一、欧几里得

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  欧几里得，古希腊人，数学家，主要成就：数学巨著《几何原本》、欧几里得算法、完全数。
  在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410～485）的《几何学发展概要》中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反)，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。
  虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学的很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑道：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。
  总之呢，任何事情都是这样，哪有这么多得捷径可走，天才往往都是天天积累成才。

二、实现思路

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定义2.1：设m和n是两个不全为0的整数，称m与n的公因子中最大的为m与n的最大公因子，或最大公约数(greatest common divisor)，记作gcd(m,n)
定义2.2：设m和n是两个非零整数，称a与b最小的公倍数为m与n的最小公倍数(least common multiple)，记作lcm(m,n)

欧几里得算法又称辗转相除法

• s：设两个正整数m，n且m > n ;
• s1：令r=m%n（%代表取余）；
• s2：若r=0(即n整除m)运算结束，n为结果 ；
• s3：否则令m=n，n=r并返回s1 ；

三、核心思想

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$gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n))$
$lcm(m,n)=a/gcd(m,n)\ast b$

证明：不妨设 $m=k_{1}d,n=k_{2}d,k_3=m/n$ (整除)则 $r=m-k_{3}n=k_{1}d-k_2{k}_{3}d=(k_1-k_2{k}_3)d$
故r也是d的倍数，得证$gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n))$

四、优点

一看相比于穷举法，效率也会高很多
更：
拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因子时所需的除法次数不会超过两个数中较小的那个十进制数中数字个数的5倍。 即：$$cnt<=5d(n)$$
其中$n$为辗转次数，$n<m$，$d(a)$表示十进制数中数字个数。
自然而然，时间复杂度为 O(log(n))

五、核心代码

int gcd(int m,int n){
	int r;
	while(n!=0){
		r=m%n;
		m=n;
		n=r;
	}
	return m;
}
// 递归做法
int gcd(int m,int n) {
	return n ? gcd(n,m%n): m; 
}
int lcm(int gcd,int m,int n)
{
	return m/gcd*n;
}

参考来源：人物简介源自百度百科

在优快云上的第一篇文章，２０１９加油！