sincerit 算法竞赛宝典 乘积最大(经典动态规划)

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助正确理解题意，举如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
312=36
312=62
这时，符合题目要求的结果是：312=62
再如 n = 310143
310143 = 0
310143 = 129
310143 = 126
310143 = 1290
310143 = 1260
310143 = 0
310143 = 372
31014*3 = 3720
最大乘积为3720

该题用动态规划做分析:
设有字符串为a1a2a3…an
当k=1时，最大值为max{a1a2a3…an， a1a2a3a4…an，a1a2a3*a4a5…an，…，a1a2a3…*an};
当k=2时，最大值为max{a1a2a3…a(n-2)*a(n-1)*an，a1a2a3…a(n-3)a(n-2)a(n-1)an，…，a1a2a3a4…an}
引入记号f(i，j，s)表示从i到j，s个乘号取得的最大值，g(i,j)表示从i到j的数字队列(字符变成整数)则：
k=1时，f(1，n，1)=max{g(1,1)*g(2,n), g(1,2)*g(3,n), …, g(1,n-1)*g(n,n)};
k=2时，f(1，n，2)=max{f(1, n-1, 1)*g(n,n), f(1, n-2, 1)*g(n-1, n), …，f(1, 2, 1)*g(3, n)};
由此推出
f(1，n，k) = max{f(1, n-1, k-1)*g(n,n), f(1, n-2, k-1)*g(n-1,n), …，f(1, k, k-1)*g(k+1, n)};
我们将f(1，j，s)化简成f(j， s)则转移方程为：
f(n，k) = max{f(n-1, k-1)*g(n,n), f(n-2,k-1)*g(n-1, n), …, f(k, k-1)*g(k+1,n)}

#include <stdio.h>
#include <cstring>
char str[50];
long long f[50][50]; 
// f[k][n]表示k个乘号，长度为n的最大乘积 
long long g(int start, int end) {
  long long s = 0, t = 1;
  for (int i = end; i >= start; i--) {
    s += (str[i]-'0') * t;
    t *= 10;
  }
  return s;
}
int main() {
  int n, k, mx;
  scanf("%d %d", &n, &k);
  scanf(" %s", str); // 下标从0开始  123456
  
  for (int i = 0; i < n; i++) f[0][i] = g(0,i); // 乘号为0个时的数字 
  for (int i = 1; i <= k; i++) {  
    for (int j = i; j < n; j++) { // 从i开始是因为i个乘号至少要i+1个字符,因为是从0开始的到i有i+1个字符 
      mx = f[i-1][j-1] * g(j,j); // j表示字符长度j+1以j结尾  i=1,j=4  f[0][3]*g(4,4)开始  12345 * 6
      for (int h = j-1; h >= i; h--) { // 乘号枚举的范围 i ~ j  因为j找过来所以 h = i ~ j-1 乘号枚举再h下标字符的后面  1234 * 56
        if (f[i-1][h-1] * g(h,j) > mx) {
          mx = f[i-1][h-1] * g(h,j); // 把字符串分解找到最大的那个乘积 也就是在0~h-1里有i-1个乘号再乘str[h~j] 
        }
      }
      f[i][j] = mx;
    }
  }
  printf("%lld\n", f[k][n-1]);
  return 0;
}