本文是一篇关于数学文化与历史的综合概述，涵盖了数学的本质、历史发展、推理方法、数学游戏、数学难题以及重要的数学概念如斐波那契数列、自然常数e和数系。内容深入浅出，介绍了数学的美学、功能以及对科学的深远影响，同时还涉及了数论、密码学和未解决的数学猜想，如费马猜想和哥德巴赫猜想。
主讲人：张文俊（深圳大学）
参考教材：《数学文化赏析》
目录（此笔记是基于完整版笔记进行提取的精华版本，适合作题或备考使用，例题均来自每节的课后习题或大作业）
5、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)
6、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）
一、关于数学本质(对象、特点、美的特点、功能、文化……)
1、关于数学的描述
数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学
数学是研究模式与秩序的科学
数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括数学的对象是万物之本、数学方法与结论的可靠性
2、数学研究对象：数与形
数与形是数学科学的两大柱石
数与形是万物共性和本质
数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系
3、数学特点：概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性、应用的广泛性
4、数学关注的内容：
一种对象的内在性质
不同对象的联系
多种对象的共性
一组对象的变化规律
5、数学中概念或定义的形成主要是分类、抓本质、抓共性的结果
6、数学功能：实用、教育、语言（用方程描述社会现象、用符号表示数和运算）、文化
数学语言三大特点：简单化（表达简洁、清晰）、清晰化（不会产生歧义）、扩展化（内涵丰富）
7、数学文化（把数学看做一种文化，原因在于）：
①是人类创造并且传承下来的知识、方法、思想
②深入到社会的每个角落
③影响着人类的思想，推动着科技发展和社会进步，与其他文化关系密切
数学文化内涵：知识性成分（数学知识）、观念性成分（数学观念系统）
8、数学思维：
抽象性（发现本质、共性）
创造性（发散性思维）
逻辑性（演绎推理，精细严谨）
模式化（本质共性→建立模型）
9、数学与科学
①数学素质与科学素质
科学素质是人类发展生产力、创造物质财富的基础
科学素质的核心是数学素质
科学素质追求真
数学素质的内涵：数学意识、数学语言、数学技能、数学思维
②数学与科技发展
数学是科学的语言
数学是科学之母
数学是科学之仆
数学孕育科学，也推动科学
10、数学学科发展的因素：实用、科学、哲学、美学
11、公理系统：
公理之间应该相容；
公理之间应该独立；
公理是数学理论正确性的前提。
例题：
12、数学美
（1）简洁之美：关注本质、共性→证明方法、表达形式、理论体系结构简单性
（2）和谐之美：关注共性、规律、联系
（3）奇异之美
二、数学历史（历史和分类）
1、数学历史
（1）初等数学和古代数学（16世纪以前）：
特点：常量数学
（2）变量数学（17-19世纪初）
①17世纪，法国笛卡尔建立解析几何（起点）
②牛顿和莱布尼兹建立微积分（标志）
特点：数形结合，可以研究运动，从逻辑到代数
（3）近代数学（19世纪）：第二次数学危机
分析严密化：极限理论
代数抽象化：解的存在性、个数、结构问题→阿贝尔：五次代数方程通用的求根公式是不存在的→伽罗瓦群论
几何非欧化
例题：
（4）现代数学（20世纪）
随机数学：概率论和数理统计
例题：
2、分支发展
（1）几何学
向量几何：将代数与几何结合得最真切
（2）代数学
初等代数学：研究实数、复数，中心问题→解的存在性、个数、结构问题
高等代数学：
线性代数：方程未知量增加，次数保持一致→矩阵、行列式、向量……
多项式代数：未知量个数不多，次数很多→方程论
任何多项式方程在复数范围内都有解
五次及五次以上的多项式方程在复数范围内没有求根公式
（3）微积分
（4）随机数学与模糊数学
随机数学：概率论和数理统计
例题：
三、推理
1、发散性思维（</
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