具体数学:和式(五)有限微积分

2.6 有限微积分与无限微积分

2.6.1 差分算子 Δ与阶乘幂

在无限微积分中，导数由极限定义：
$$Df(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

而在有限微积分中，我们不取极限，而是固定步长 $ h = 1 $，定义差分算子（Difference Operator）：
$$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\text{\hspace{1em}(2.42)}$$

[!NOTE]
符号 $D$ 和 $\Delta$ 都是算子（operator）：它们作用在函数上，生成新的函数。

• $Df$ 是函数 $f$ 的导数（连续变化率）
• $\Delta f$ 是函数 $f$ 的“单位步长差分”（离散变化率）

在无限微积分中，幂函数 $x^m$ 满足优美的求导规则：
$$D(x^m)=m{x}^{m-1}$$

但在有限微积分中，$\Delta (x^m)$ 并不具有类似简洁形式。例如：
$$\Delta (x^3)=(x+1{)}^3-x^3=3x^2+3x+1$$

为此，我们引入阶乘幂（Factorial Powers），它们在 $\Delta$ 下的行为与 $x^m$ 在 $D$ 下的行为完全对应。

下降阶乘幂
$$x^{\underline{m}}=\underset{m\text{ 个因子}}{\underbrace{x(x-1)(x-2)\cdots (x-m+1)}},m\ge 0\text{\hspace{1em}(2.43)}$$

• 当 $m=0$ 时，$x^{\underline{0}}=1$（空积）
• 读作：“$x$ 直降 $m$ 次”

上升阶乘幂
$$x^{\overline{m}}=\underset{m\text{ 个因子}}{\underbrace{x(x+1)(x+2)\cdots (x+m-1)}},m\ge 0\text{\hspace{1em}(2.44)}$$

• 读作：“$x$ 直升 $m$ 次”

[!TIP]

• 下划线 $\underline{}$ 表示因子递减（如阶乘 $n!=n^{\underline{n}}$）
• 上划线 $\overline{}$ 表示因子递增

下降阶乘幂在 $\Delta$ 下表现出与经典导数完全平行的性质：

$$\begin{array}{rl}\Delta (x^{\underline{m}})& =(x+1{)}^{\underline{m}}-x^{\underline{m}}\\ & =(x+1)x(x-1)\cdots (x-m+2)-x(x-1)\cdots (x-m+1)\\ & =x(x-1)\cdots (x-m+2)\left[(x+1)-(x-m+1)\right]\\ & =m\cdot x^{\underline{m-1}}\end{array}$$

因此我们得到有限微积分的基本法则：
$$\Delta (x^{\underline{m}})=m{x}^{\underline{m-1}},m\ge 1\text{\hspace{1em}(2.45)}$$

这正是 $D(x^m)=m{x}^{m-1}$ 的离散对应！

---

2.6.2 不定和与微积分基本定理

在无限微积分中，积分是微分的逆运算：
$$g(x)=Df(x)⟺\int g(x)dx=f(x)+C$$

类似地，在有限微积分中，求和是差分的逆运算。我们定义逆差分算子（或不定和）：
$$g(x)=\Delta f(x)⟺\sum g(x)\delta x=f(x)+C\text{\hspace{1em}(2.46)}$$

[!NOTE]

• $\sum g(x)\delta x$ 是 $g(x)$ 的不定和（indefinite sum）
• $C$ 是任意周期为1的函数，即满足 $C(x+1)=C(x)$（如常数、$\sin (2\pi x)$ 等）
• 在整数点上，$C(x)$ 为常数，因此通常可写作 $+C$

有限微积分也有“定积分”的类比——定和式（definite sum）：

如果 $g(x)=\Delta f(x)$，则：
$$\sum _a^{b}g(x)\delta x=f(x){|}_a^b=f(b)-f(a)\text{\hspace{1em}(2.47)}$$

[!TIP]
直观含义：
通过展开验证：
$$\sum _{a\le k<b}\Delta f(k)=\sum _{k=a}^{b-1}[f(k+1)-f(k)]=f(b)-f(a)$$
这称为叠缩和（telescoping sum），中间项全部抵消，仅剩首尾。

于是我们得到等价关系：
$$\sum _a^{b}g(x)\delta x=\sum _{a\le k<b}g(k),\text{当 }b\ge a\text{\hspace{1em}(2.48)}$$

[!WARNING]
注意：上限是开区间！${\sum }_a^b$ 对应的是 $k=a,a+1,\dots ,b-1$，而非 $b$。

这一约定与积分 ${\int }_a^b$ 保持一致，并满足：
$$\sum _a^b+\sum _b^c=\sum _a^c,\sum _a^b=-\sum _b^a\text{\hspace{1em}(2.49)}$$

结合 (2.45) 与 (2.47)，我们立即得到下降幂的求和公式：

$$\sum _a^b{x}^{\underline{m}}\delta x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}{|}_a^b,m\ne -1\text{\hspace{1em}(2.50)}$$

特别地，当 $a=0,b=n$ 时：
$$\sum _{0\le k<n}{k}^{\underline{m}}=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1},m,n\ge 0$$

这与积分 ${\int }_0^n{x}^{m}dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ 形式完全一致！

---

2.6.3 平方和新解

虽然 $k^2$ 不是下降幂，但我们可将其表示为下降幂的线性组合：

$$k^2=k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}$$

因为：
$$k^{\underline{2}}=k(k-1)=k^2-k⟹k^2=k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}$$

于是：
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le k<n}{k}^2& =\sum _{0\le k<n}\left(k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}\right)\\ & =\sum _0^n{x}^{\underline{2}}\delta x+\sum _0^n{x}^{\underline{1}}\delta x\\ & ={\frac{x^{\underline{3}}}{3}|}_0^n+{\frac{x^{\underline{2}}}{2}|}_0^n\\ & =\frac{n^{\underline{3}}}{3}+\frac{n^{\underline{2}}}{2}\\ & =\frac{n(n-1)(n-2)}{3}+\frac{n(n-1)}{2}\\ & =n(n-1)\left(\frac{n-2}{3}+\frac{1}{2}\right)\\ & =n(n-1)\left(\frac{2n-4+3}{6}\right)=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\end{array}$$

注意：这是对 $0\le k<n$ 的和。若要求 $0\le k\le n$，即 ${\square }_n={\sum }_{k=0}^n{k}^2$，只需令 $n\to n+1$：

$$\begin{array}{rl}{\square }_n& =\sum _{0\le k\le n}{k}^2=\sum _{0\le k<n+1}{k}^2\\ & =\frac{(n+1)n(2n+1)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

进阶

问题：计算 $\sum _{0\le k<n}{k}^3$

第一步：将 $k^3$ 表示为下降阶乘幂的组合

我们尝试将通常幂 $k^3$ 写成下降幂 $k^{\underline{3}},k^{\underline{2}},k^{\underline{1}}$ 的线性组合：

设：
$$k^3=a{k}^{\underline{3}}+b{k}^{\underline{2}}+c{k}^{\underline{1}}$$

展开各项：

• $k^{\underline{3}}=k(k-1)(k-2)=k^3-3k^2+2k$
• $k^{\underline{2}}=k(k-1)=k^2-k$
• $k^{\underline{1}}=k$

代入：
$$\begin{array}{rl}a(k^3-3k^2+2k)+b(k^2-k)+ck& =a{k}^3+(-3a+b)k^2+(2a-b+c)k\end{array}$$

令其等于 $k^3$，比较系数：

$$\{\begin{array}{l}a=1\\ -3a+b=0⟹b=3\\ 2a-b+c=0⟹2-3+c=0⟹c=1\end{array}$$

因此：
$$k^3=k^{\underline{3}}+3k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}$$

[!TIP]
这一过程可系统化，未来我们将通过斯特林数（Stirling Numbers）自动完成通常幂与下降幂之间的转换。

---

第二步：逐项求和

利用公式：
$$\sum _{0\le k<n}{k}^{\underline{m}}=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1}$$

我们有：
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le k<n}{k}^3& =\sum _{0\le k<n}\left(k^{\underline{3}}+3k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}\right)\\ & =\sum k^{\underline{3}}+3\sum k^{\underline{2}}+\sum k^{\underline{1}}\\ & =\frac{n^{\underline{4}}}{4}+3\cdot \frac{n^{\underline{3}}}{3}+\frac{n^{\underline{2}}}{2}\\ & =\frac{n^{\underline{4}}}{4}+n^{\underline{3}}+\frac{n^{\underline{2}}}{2}\end{array}$$

代入下降幂：

• $n^{\underline{2}}=n(n-1)$
• $n^{\underline{3}}=n(n-1)(n-2)$
• $n^{\underline{4}}=n(n-1)(n-2)(n-3)$

所以：
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le k<n}{k}^3& =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4}+n(n-1)(n-2)+\frac{n(n-1)}{2}\\ & =n(n-1)\left[\frac{(n-2)(n-3)}{4}+(n-2)+\frac{1}{2}\right]\\ & =n(n-1)\left[\frac{n^2-5n+6}{4}+\frac{4n-8}{4}+\frac{2}{4}\right]\\ & =n(n-1)\cdot \frac{n^2-5n+6+4n-8+2}{4}\\ & =n(n-1)\cdot \frac{n^2-n}{4}=\frac{n^2(n-1{)}^2}{4}\end{array}$$

我们求的是 ${\sum }_{0\le k<n}{k}^3$，若要求 ${\sum }_{k=1}^n{k}^3$，只需令 $n\to n+1$：

$$\sum _{k=1}^n{k}^3=\sum _{0\le k<n+1}{k}^3=\frac{(n+1{)}^2{n}^2}{4}={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

最终结果：
$$\boxed{\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2}$$

拓展

问题：求 $\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k$，其中 $c\ne 1$

这是一个经典的几何级数：
$$\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k=1+c+c^2+\cdots +c^{n-1}$$

我们用有限微积分方法系统求解。

---

第一步：找 $c^x$ 的不定和

已知：
$$\Delta (c^x)=c^{x+1}-c^x=(c-1)c^x$$

因此：
$$c^x=\Delta \left(\frac{c^x}{c-1}\right)$$

所以：
$$\sum c^x\delta x=\frac{c^x}{c-1}+C,c\ne 1$$

---

第二步：应用定和式公式

我们要求的是：
$$\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k=\sum _{0\le k<n}{c}^k=\sum _0^n{c}^x\delta x$$

由基本定理：
$$\sum _0^n{c}^x\delta x={\frac{c^x}{c-1}|}_0^n=\frac{c^n}{c-1}-\frac{c^0}{c-1}=\frac{c^n-1}{c-1}$$

---

最终结果：
$$\boxed{\sum _{k=0}^{n-1}{c}^k=\frac{c^n-1}{c-1},c\ne 1}$$

2.6.4 负指数的下降幂与调和数

为了将下降阶乘幂 $x^{\underline{m}}$ 推广到负整数指数情形，我们需要为 $m<0$ 给出合理的定义。

观察正指数序列：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\underline{3}}& =x(x-1)(x-2)\\ x^{\underline{2}}& =x(x-1)=\frac{x^{\underline{3}}}{x-2}\\ x^{\underline{1}}& =x=\frac{x^{\underline{2}}}{x-1}\\ x^{\underline{0}}& =1=\frac{x^{\underline{1}}}{x}\end{array}$$

若延续此模式，下一步应除以 $x+1$，得到：
$$x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}$$

继续下去：
$$x^{\underline{-2}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)},x^{\underline{-3}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$

由此我们给出一般定义：

$$x^{\underline{-m}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+m)},m>0\text{\hspace{1em}(2.51)}$$

验证基本差分法则

我们验证负指数下降幂是否仍满足基本法则：
$$\Delta (x^{\underline{m}})=m{x}^{\underline{m-1}}\text{\hspace{1em}(2.45)}$$

以 $m=-2$ 为例：
$$\begin{array}{rl}\Delta (x^{\underline{-2}})& =\frac{1}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}\\ & =\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{-2}{(x+1)(x+2)(x+3)}=-2x^{\underline{-3}}\end{array}$$

确实满足 $\Delta (x^{\underline{-2}})=-2x^{\underline{-3}}$。类似可证对所有 $m<0$ 成立。

因此，公式 (2.50)：
$$\sum _a^b{x}^{\underline{m}}\delta x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}{|}_a^b,m\ne -1$$
对负指数 $m\ne -1$ 依然成立。

---

指数法则的保持

一个优美的定义不仅应满足差分法则，还应保持代数结构。下降幂满足如下指数法则：

$$x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m{)}^{\underline{n}}\text{\hspace{1em}(2.52)}$$

以 $m=2,n=-3$ 为例验证：
$$\begin{array}{rl}{x}^{\underline{2-3}}& =x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}\\ x^{\underline{2}}(x-2{)}^{\underline{-3}}& =x(x-1)\cdot \frac{1}{(x-1)x(x+1)}=\frac{1}{x+1}\end{array}$$

---

$m=-1$ 的特殊情况：调和数

$$\sum _a^b{x}^{\underline{m}}\delta x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}{|}_a^b,m\ne -1\text{\hspace{1em}(2.50)}$$

当 $m=-1$ 时，求和公式 (2.50) 失效（分母为零），类比于 $\int x^{-1}dx=\ln x$。

我们寻找函数 $f(x)$ 使得：
$$\Delta f(x)=x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}⟹f(x+1)-f(x)=\frac{1}{x+1}$$

解为：
$$f(x)=\sum _{k=1}^x\frac{1}{k}=H_x\text{(调和数)}$$

因此，调和数 $H_x$ 是 $\ln x$ 的离散模拟。

最终求和公式统一为：
$$\sum _a^b{x}^{\underline{m}}\delta x=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}{|}_a^b,& m\ne -1\\ H_x{|}_a^b,& m=-1\end{array}\text{\hspace{1em}(2.53)}$$

[!NOTE]
这解释了为何调和数频繁出现在离散算法分析中（如快速排序），正如 $\ln x$ 出现在连续问题中。

---

2.6.5 离散指数函数与几何级数

在无限微积分中，$D(e^x)=e^x$。我们寻找满足 $\Delta f(x)=f(x)$ 的函数：

$$f(x+1)-f(x)=f(x)⟹f(x+1)=2f(x)⟹f(x)=2^x$$

因此，$2^x$ 是有限微积分中的“自然指数函数”。

更一般地：
$$\Delta (c^x)=c^{x+1}-c^x=(c-1)c^x⟹\sum c^x\delta x=\frac{c^x}{c-1}+C,c\ne 1$$

于是几何级数的封闭形式为：
$$\sum _{a\le k<b}{c}^k=\sum _a^b{c}^x\delta x={\frac{c^x}{c-1}|}_a^b=\frac{c^b-c^a}{c-1},c\ne 1\text{\hspace{1em}(2.54)}$$

---

2.6.6 分部求和法

类比于分部积分 $ \int u,dv = uv - \int v,du $，我们推导分部求和法。

利用移位算子 $Ef(x)=f(x+1)$，有：
$$\Delta (uv)=u\Delta v+(Ev)\Delta u\text{\hspace{1em}(2.55)}$$

两边取不定和并移项：
$$\sum u\Delta v=uv-\sum (Ev)\Delta u\text{\hspace{1em}(2.56)}$$

应用：计算 $\sum k{2}^k$

令：

• $u(x)=x⟹\Delta u=1$
• $\Delta v=2^x⟹v=2^x$, $Ev=2^{x+1}$

则：
$$\begin{array}{rl}\sum x\cdot 2^x\delta x& =x\cdot 2^x-\sum 2^{x+1}\cdot 1\delta x\\ & =x{2}^x-2\sum 2^x\delta x\\ & =x{2}^x-2\cdot \frac{2^x}{2-1}+C=x{2}^x-2^{x+1}+C\end{array}$$

应用于 ${\sum }_{k=0}^{n}k{2}^k$：
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{n}k{2}^k& =\sum _0^{n+1}x{2}^x\delta x\\ & ={\left[x{2}^x-2^{x+1}\right]}_0^{n+1}\\ & =\left((n+1)2^{n+1}-2^{n+2}\right)-\left(0-2^1\right)\\ & =(n+1)2^{n+1}-4\cdot 2^n+2=(n-1)2^{n+1}+2\end{array}$$

[!NOTE]

---

2.6.7 小结：有限微积分的核心思想

概念	无限微积分	有限微积分
变化率	$Df(x)$	$\Delta f(x)$
积分/求和	$\int g(x)dx$	$\sum g(x)\delta x$
基本函数	$x^m$	$x^{\underline{m}}$
指数函数	$e^x$	$2^x$
对数函数	$\ln x$	$H_x$
基本定理	${\int }_a^{b}Df=f(b)-f(a)$	${\sum }_a^b\Delta f=f(b)-f(a)$
分部法则	$\int udv=uv-\int vdu$	$\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u$

---

表 2-1：常用差分与逆差分对

$f(x)=\sum g(x)\delta x$	$\Delta f(x)=g(x)$
$1$	$0$
$x$	$1$
$\frac{x^{\underline{2}}}{2}$	$x$
$\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}$	$x^{\underline{m}}$ ($m\ne -1$)
$H_x$	$x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}$
$2^x$	$2^x$
$\frac{c^x}{c-1}$	$c^x$ ($c\ne 1$)
$c\cdot u$	$c\cdot \Delta u$
$u+v$	$\Delta u+\Delta v$
$uv$	$u\Delta v+(Ev)\Delta u$