具体数学:和式(三)多重和式

2.4 多重和式

2.4.1 表达

一个和式的项可以用两个或多个指标来指定。

如下为一个由指标 $j$ 和 $k$ 控制的二重和式：
$$\sum _{1\le j,k\le 3}{a}_j{b}_k=a_1{b}_1+a_1{b}_2+a_1{b}_3+a_2{b}_1+a_2{b}_2+a_2{b}_3+a_3{b}_1+a_3{b}_2+a_3{b}_3.$$

引入艾弗森约定有，对于性质 $P(j,k)$，所有满足 $P(j,k)$ 的项 $a_{j,k}$ 之和可表示为：
$$\sum _{P(j,k)}{a}_{j,k}=\sum _{j,k}{a}_{j,k}[P(j,k)].$$
此记号只需一个 $\Sigma$，表示对所有满足条件的指标组合求和。

又是也可以使用多重符号，如
$$\sum _j\sum _k{a}_{j,k}[P(j,k)]=\sum _j\left(\sum _k{a}_{j,k}[P(j,k)]\right)$$

• 多重求和从右向左计算（由内而外）。
• ${\sum }_j{\sum }_k$ 表示“先对 $k$ 求和，再对 $j$ 求和”。
• 也可以先对 $j$ 求和，再对 $k$ 求和。

2.4.2 交换求和次序

基本法则

推广上文的结合律，可以得到交换求和次序的基本法则：
$$\sum _j\sum _k{a}_{j,k}[P(j,k)]=\sum _{P(j,k)}{a}_{j,k}=\sum _k\sum _j{a}_{j,k}[P(j,k)].(2.27)$$
选择更方便的求和顺序是计算二重和式的关键。

简易型变形

当 $j$ 和 $k$ 的范围相互独立时：
$$\sum _{j\in J}\sum _{k\in K}{a}_{j,k}=\sum _{j\in J,k\in K}{a}_{j,k}=\sum _{k\in K}\sum _{j\in J}{a}_{j,k}\text{\hspace{1em}(2.29)}$$
这成立是因为 $[j\in J][k\in K]$ 可以分解。

复杂型变形

当内层求和的范围依赖于外层指标时：
$$\sum _{j\in J}\sum _{k\in K(j)}{a}_{j,k}=\sum _{k\in K^{\prime }}\sum _{j\in J^{\prime }(k)}{a}_{j,k}\text{\hspace{1em}(2.30)}$$
要求集合满足：
$$[j\in J][k\in K(j)]=[k\in K^{\prime }][j\in J^{\prime }(k)].$$

重要特例
$$[1\le j\le n][j\le k\le n]=[1\le j\le k\le n]=[1\le k\le n][1\le j\le k].\text{\hspace{1em}(2.31)}$$
由此可得：
$$\sum _{j=1}^n\sum _{k=j}^n{a}_{j,k}=\sum _{1\le j\le k\le n}{a}_{j,k}=\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^k{a}_{j,k}.\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

2.4.3 实际应用

实例一：上三角和

对于该矩阵
$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1{a}_1& a_1{a}_2& a_1{a}_3& \cdots & a_1{a}_n\\ a_2{a}_1& a_2{a}_2& a_2{a}_3& \cdots & a_2{a}_n\\ a_3{a}_1& a_3{a}_2& a_3{a}_3& \cdots & a_3{a}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{a}_1& a_n{a}_2& a_n{a}_3& \cdots & a_n{a}_n\end{array}\right]$$
要计算对称阵列主对角线及上方元素的和：
$$S=\sum _{1\le j\le k\le n}{a}_j{a}_k\text{\hspace{1em}(2.36)}$$
利用对称性 $S={\sum }_{1\le k\le j\le n}{a}_j{a}_k$ 和恒等式：
$$[1\le j\le k\le n]+[1\le k\le j\le n]=[1\le j,k\le n]+[1\le j=k\le n]$$

[!NOTE]

• 左边第一项：[1 ≤ j ≤ k ≤ n]

对应矩阵的上三角部分（包括主对角线）

• 左边第二项：[1 ≤ k ≤ j ≤ n]

对应矩阵的下三角部分（包括主对角线）

• 右边第一项：[1 ≤ j, k ≤ n]

对应整个矩阵的所有元素

• 右边第二项：[1 ≤ j = k ≤ n]

对应矩阵的主对角线元素

将两式相加：
$$2S=\sum _{1\le j,k\le n}{a}_j{a}_k+\sum _{1\le j=k\le n}{a}_j{a}_k={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2+\sum _{k=1}^n{a}_k^2$$

[!NOTE]

将对称矩阵上三角部分（包括对角线）的和S计算两次，等于整个矩阵所有元素的和加上对角线元素的和。整个矩阵的和可以分解为行和与列和的乘积，即所有$a_k$的和的平方，再加上对角线元素$a_k^2$的和。

解得：
$$S=\frac{1}{2}\left({\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2+\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

实例二：切比雪夫求和不等式

[!NOTE]

切比雪夫求和不等式（Chebyshev’s sum inequality）是数学中关于两个单调序列乘积和的重要不等式，揭示了序列乘积和与其各自和的乘积之间的关系。

设两个实数序列 {ak}k=1n\{a_k\}_{k=1}^n{ak​}k=1n​ 和 {bk}k=1n\{b_k\}_{k=1}^n{bk​}k=1n​。

• 第一形式（同向单调）：若 {ak}\{a_k\}{ak​} 与 {bk}\{b_k\}{bk​} 同向单调（即同时非减或同时非增），则：
  $$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)\le n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$

• 第二形式（反向单调）：若 {ak}\{a_k\}{ak​} 与 {bk}\{b_k\}{bk​} 反向单调（一个非减，另一个非增），则：
  $$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)\ge n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$

该不等式在数学分析、不等式理论和组合优化中有广泛应用，尤其常用于证明排序不等式、均值不等式等。

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示例验证

取两个递增序列：

• $a=(1,2,3)$
• $b=(2,4,6)$

计算：

• $\sum a_k=1+2+3=6$
• $\sum b_k=2+4+6=12$
• $\sum a_k{b}_k=1\cdot 2+2\cdot 4+3\cdot 6=2+8+18=28$
• $n=3$

左边：$(\sum a_k)(\sum b_k)=6\times 12=72$
右边：$n\sum a_k{b}_k=3\times 28=84$

由于 $72\le 84$，满足同向单调情形下的不等式。

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[!NOTE]

定义辅助量：
$$S=\sum _{1\le j<k\le n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)$$

注意：由于 $j<k$，若序列递增，则 $a_j\le a_k$，$b_j\le b_k$，故 $a_j-a_k\le 0$，$b_j-b_k\le 0$，其乘积 $(a_j-a_k)(b_j-b_k)\ge 0$。
实际上，$(a_j-a_k)(b_j-b_k)=(a_k-a_j)(b_k-b_j)$，因此 $S$ 等价于：
$$S=\sum _{1\le j<k\le n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)$$
即 $S$ 衡量的是所有“后项减前项”的乘积之和，反映两个序列的协同变化程度。

恒等式成立：
$$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)=n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k-S$$

推论：

• 若 {ak},{bk}\{a_k\}, \{b_k\}{ak​},{bk​} 同向单调，则对所有 $j<k$，$(a_k-a_j)(b_k-b_j)\ge 0$ ⇒ $S\ge 0$
  故：
  $$\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\le n\sum a_k{b}_k$$

• 若反向单调，则 $(a_k-a_j)(b_k-b_j)\le 0$ ⇒ $S\le 0$
  故：
  $$\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\ge n\sum a_k{b}_k$$

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[!TIP]

矩阵视角

构造 $n\times n$ 矩阵 $M$，其中元素为：
$$M_{jk}=(a_j-a_k)(b_j-b_k)$$

• 对角线：$j=k$ 时，$M_{jj}=0$
• 严格上三角：$j<k$
• 严格下三角：$j>k$

由于：
$$M_{jk}=(a_j-a_k)(b_j-b_k)=(a_k-a_j)(b_k-b_j)=M_{kj}$$
矩阵 $M$ 是对称矩阵，因此：
$$\sum _{j<k}{M}_{jk}=\sum _{j>k}{M}_{jk}$$

于是总和为：
$$\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{M}_{jk}=2\sum _{1\le j<k\le n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)=2S$$

综上，进行一个总的回顾：

利用对称性 $S={\sum }_{1\le k<j\le n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)$，并注意到所有 $(j,k)$ 对满足：
$$[1\le j<k\le n]+[1\le k<j\le n]=[1\le j,k\le n]-[1\le j=k\le n]$$
将上下三角部分相加得：
$$2S=\sum _{1\le j,k\le n}(a_j-a_k)(b_j-b_k)-\underset{=0}{\underbrace{\sum _{j=1}^n(a_j-a_j)(b_j-b_j)}}$$

展开双和：
$$\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n(a_j-a_k)(b_j-b_k)=\sum _{j,k}(a_j{b}_j-a_j{b}_k-a_k{b}_j+a_k{b}_k)$$

逐项计算：

• ${\sum }_{j,k}{a}_j{b}_j=n{\sum }_j{a}_j{b}_j$
• ${\sum }_{j,k}{a}_j{b}_k=\left({\sum }_j{a}_j\right)\left({\sum }_k{b}_k\right)$
• ${\sum }_{j,k}{a}_k{b}_j=\left({\sum }_k{a}_k\right)\left({\sum }_j{b}_j\right)=\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$
• ${\sum }_{j,k}{a}_k{b}_k=n{\sum }_k{a}_k{b}_k$

因此：
$$\sum _{j,k}(a_j-a_k)(b_j-b_k)=n\sum a_k{b}_k-\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)-\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)+n\sum a_k{b}_k$$

$$=2n\sum a_k{b}_k-2\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$$

代入前式：
$$2S=2n\sum a_k{b}_k-2\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\Rightarrow \left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)=n\sum a_k{b}_k-S$$

即：
$$\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)=n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k-\sum _{1\le j<k\le n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

此恒等式导出了切比雪夫单调不等式。

2.3.4. 指标替换的一般公式

设函数 $f:J\to K$，则：
$$\sum _{j\in J}{a}_{f(j)}=\sum _{k\in K}{a}_k\cdot \#f^{-1}(k)\text{\hspace{1em}(2.35)}$$
f−(k)={j∣f(j)=k}f^-(k) = \{j | f(j) = k\}f−(k)={j∣f(j)=k}

其中 $\#f^{-1}(k)$ 是满足 $f(j)=k$ 的 $j$ 的个数。

[!NOTE]

因为 同一个 $a_k$ 可能被多个 $j$ 映射到，所以它在左边的和中会出现多次。
右边要用 $\#f^{-1}(k)$ 来统计它出现了多少次，即“加权计数”。

• 特例：若 $f$ 是双射，则 $\#f^{-1}(k)=1$，公式退化为交换律：
  $$\sum _{j\in J}{a}_{f(j)}=\sum _{k\in K}{a}_k.$$

注：切比雪夫曾对积分证明类似结论——若 $f(x),g(x)$ 单调非减，则
$(b-a){\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ge \left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)\left({\int }_a^{b}g(x)dx\right)$。
这与离散情形的切比雪夫不等式思想一致。

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具体例子：调和和

[!IMPORTANT]

调和级数的基本公式

第 $n$ 个调和数（Harmonic Number）定义为前 $n$ 个正整数倒数之和：

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$$

• $H_0=0$（约定）
• $H_1=1$
• $H_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
• $H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$

考虑：
$$S_n=\sum _{1\le j<k\le n}\frac{1}{k-j}$$

方法一：固定 $k$，对 $j$ 求和
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^{k-1}\frac{1}{k-j}\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{d=1}^{k-1}\frac{1}{d}(\text{令 }d=k-j)\\ & =\sum _{k=1}^n{H}_{k-1}\\ & =\sum _{0\le k<n}{H}_k\end{array}$$

方法二：固定 $j$，对 $k$ 求和
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{j=1}^n\sum _{k=j+1}^n\frac{1}{k-j}\\ & =\sum _{j=1}^n\sum _{d=1}^{n-j}\frac{1}{d}(\text{令 }d=k-j)\\ & =\sum _{j=1}^n{H}_{n-j}\\ & =\sum _{0\le k<n}{H}_k\end{array}$$

两种方法均得 ${\sum }_{0\le k<n}{H}_k$，但此和无封闭形式，陷入僵局。

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成功解法：变量替换（按差值求和）

令 $d=k-j$，则 $k=j+d$，原条件 $1\le j<k\le n$ 化为：

• $1\le d\le n$
• $1\le j\le n-d$

于是：
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{d=1}^n\sum _{j=1}^{n-d}\frac{1}{d}\\ & =\sum _{d=1}^n\frac{1}{d}\cdot (n-d)\\ & =\sum _{d=1}^n\left(\frac{n}{d}-1\right)\\ & =n\sum _{d=1}^n\frac{1}{d}-\sum _{d=1}^{n}1\\ & =n{H}_n-n\end{array}$$

因此：
$$S_n=n{H}_n-n\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

结合前式，得到恒等式：
$$\sum _{0\le k<n}{H}_k=n{H}_n-n$$

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理解与启示

1. 代数视角：
   对 $\frac{1}{k-j}$ 类型的项，令 $d=k-j$ 是关键替换，将依赖两个变量的表达式转化为可分组求和的形式。

2. 几何视角：
   原求和区域是 $j<k$ 的上三角格点。

   • 按行或列求和 → 得 $H_k$，结构复杂
   • 按对角线（$k-j=d$ 为常数）求和 → 每层贡献 $\frac{n-d}{d}$，结构清晰

例如 $n=4$ 时，按 $d=1,2,3$ 分组：

• $d=1$: 3 项，贡献 $3\cdot \frac{1}{1}=3$
• $d=2$: 2 项，贡献 $2\cdot \frac{1}{2}=1$
• $d=3$: 1 项，贡献 $1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
  总和：$3+1+\frac{1}{3}=4H_4-4$，验证成立。

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核心思想：
多重和的计算成败，往往取决于是否选择了合适的求和顺序或变量替换。
本例中，按“差值” $d=k-j$ 求和是突破关键。