9、动态环境下的安全时机博弈

动态环境下的安全时机博弈

1. 离散时间模型

在离散时间模型中，防御者的目标是最小化在时间阶段 ${0, 1, \ldots, K}$ 内的总损失。防御者的成本计算如下：
$\sum_{k=0}^{K} d(k)$
损失则取决于攻击者的等待时间。假设攻击者在第 $k$ 个时间段发现漏洞后等待 $a(k)$ 个时间段再利用该漏洞，那么在第 $k$ 步发现的漏洞给防御者带来的损失为：
$(1 - \lambda)^{a(k)} R d(k + a(k))$
综合起来，离散时间模型中防御者的收益为：
$U_d = -\sum_{k=0}^{K} \left(d(k) + V(k)(1 - \lambda)^{a(k)} R d(k + a(k))\right)$
攻击者的收益为：
$U_a = \sum_{k=0}^{K} V(k)(1 - \lambda)^{a(k)} R d(k + a(k))$

2. 模型分析

主要关注纳什均衡配置，即每个玩家在当前环境下都做出最优反应。
- 命题 1 ：如果 $V(0) > 0$，那么连续时间模型中的每个均衡都满足 $a(0) = 0$ 和 $a(T) = 0$。也就是说，攻击者在游戏开始或结束时不应等待攻击。
- 证明 ：假设 $a(0) > 0$，由于攻击者在之前没有发现漏洞的时间，防御者可以安全地选择 $d(0) = 0$ 作为最优投资。但如果攻击者知道 $d(0) = 0$，为了在发现漏洞时造成最大损害，她会选择不等待。这一矛盾表明，如果 $V(0) >