【C++】AVLTree

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树:
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树的高度差绝对值不超多 1（-1 / 0 / 1）（简称平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度）

增删查改：高度次 -> O(logN)
满二叉树： 2^h - 1 = N
AVL树 ： 2^h - x = N
X范围： [1 , 2^(h-1)-1]

AVL树节点的定义和AVL树的插入

AVL == 高度平衡的二叉搜索树
平衡不是相等，而是高度差不超过1；


1.新增在左，parent平衡因子减减
2.新增在右，parent平衡因子加加

3.更新后parent平衡因子 == 0，说明parent所在的子树高度不变，不会影响祖先节点，不用再继续沿着root的路径向上跟新.
4.更新后parent平衡因子 == 1 or -1，说明parent的所在子树的高度发生变化，会影响祖先，需要继续沿着到root节点的路径向上更新。

5.更新后parent平衡因子 == 2 or -2， 说明parent所在的子树高度变化且不平衡，需要对parent所在子树进行旋转，让他平衡。

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
旋转的时候需要注意的问题：
1.保持他是搜索树
2.变成平衡树且降低这个子树的高度
3.旋转后更新平衡因子

左单旋

核心操作：
parent -> right = cur-> left
cur -> left = parent

右单旋

核心操作：
parent -> left = cur -> right
cur->right = parent

左右双旋和右左双旋

左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧：先左单旋再右单旋

核心操作：
左单旋
cur -> right = curright->left
curright->left = cur
curright->parent = cur->parent
cur->parent = curright
右单旋
parent->left = curright->right
curright->right = parent;
currigjt->parent = parent->parent
parent->parent = curright

因为双旋的原因，平衡因子会因为插入位置的不同发生不同变化：
如果新插入节点在较高左子树的右侧，则记录cur->right的平衡因子
插入在较高右子树的左侧，则记录cur->left的平衡因子
如：

int bf = curright->_bf;

如果bf0，则cur和curright和parent都为0；
如果bf1，则cur->bf = -1, curright和parent的bf为0；
如果bf==-1，则cur和curright的bf为0，parent->bf = 1；

		if (bf == 0)
		{
			cur->_bf = 0;
			curright->_bf = 0;
			Parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			cur->_bf = 0;
			curright->_bf = 0;
			Parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			cur->_bf = -1;
			curright->_bf = 0;
			Parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

而右左双旋则是跟左右双旋差不多只是顺序不同，就不做过多追述了；

AVL树的删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

如果平衡因子更新为0，则需要一直向上更新

如果平衡因子更新为-2/2，则需要根据情况旋转

当parent平衡因子为1/-1则不需要继续向上更新

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。