[数据结构 C++(2)]：Fibonacci数不同复杂度求法_c++线性复杂度fibonacci-优快云博客

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本文深入探讨了Fibonacci数列的多种求解方法，包括二分递归、线性递归、迭代及power2方法，分析了各自的优劣及时间复杂度。通过特征方程解出通项公式，并提供了不同算法的具体实现。

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Fibonacci数列求解

$fib(n)=\left\{\begin{array}{l}{n} &n\leqslant1\\ {fib(n-1)+fib(n-2)}&n\geqslant2\end{array}\right.$

1. 二分递归,时间复杂度： $O(2^n)$

int fib(int n){
	return (2 > n) ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

花费时间为 $T (n)$ ，递推公式如下：
$T(n)=\left\{\begin{array}{l}{n} &n\leqslant1\\ {T(n-1)+T(n-2)}&n\geqslant2\end{array}\right.$
根据特征方程方法来求解：
对于数列 $a_{n+2}=c_{1} a_{n+1}+c_{2} a_{n}$ 可以构造特征方程 $x^2=c_1 x+c_{2}$ ，方程解为 $x_1,x_2$ 可以得到最终通项公式为： $a_{n}=p x_{1}^{n}+q x_{2}^{n}$
那么Fibonacci数列可以得到
$x1=1+52x2=1−52x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
则有 $an=p(1+52)n+q(1−52)na_{n}=p\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+q\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$
代入 $a_{1}=1, a_{2}=1$ ，可得 $p=15,q=−15p=\frac{1}{\sqrt{5}}, q=-\frac{1}{\sqrt{5}}$
因此有： $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$

2. 线性递归，时间复杂度： $O (n)$ ，空间复杂度 $O (n)$

int fib(int n, int prev){
	if (0 == n){
		prev = 1;
		return 0;
	}
	else{
		int prevP; prev = fib(n-1, prevP);
		return prevPrev + prev;
	}
}

2. 迭代，时间复杂度： $O (n)$ ，空间复杂度 $O (1)$

int fib(int n){
	int f = 1, g = 0;
	while(0 < n--){
	g += f;
	f = g-f;
	}
	return n
}

3. power2 方法，时间复杂度： $O (l o g n)$

$(fib(n)fib(n+1))=(θ111)n(fib(θ)fib(1))=(0111)n(θ1)\left(\begin{array}{c}{f i b(n)} \\ {f_{i b}(n+1)}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll}{\theta} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right)^{n}\left(\begin{array}{l}{f_{i b}(\theta)} \\ {f_{i b}(1)}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right)^{n}\left(\begin{array}{l}{\theta} \\ {1}\end{array}\right)$
用矩阵的方法，将之前power2()的平方改为矩阵的平方。