算法学习笔记（二）------递归之汉诺塔

很惭愧，本来打算把八皇后一口气也整理出来，但是看鬼畜耽误了学习时间一会还要背单词，今天就简单整理一下汉诺塔问题。

一个函数调用自己就是递归，递归和普通函数调用一样是通过栈实现的。
现实生活中的例子就是“我三分钟就到，如果没到，请再读一遍这个短信”。

如求n！

int Factorial（int n）
{
if(n == 0)  return 1;
else return n*Factorial(n-1);
}

递归主要用处有三类。
①替代多重循环
②解决以递归形式定义的问题
③将问题分解为规模更小的子问题进行求解

汉诺塔问题，就是一种典型的递归问题。
汉诺塔是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须尊循上述两条规则。问：如何移？最少要移动多少次？

其实通过汉诺塔问题的计算，我们不难发现，汉诺塔和数学归纳法有异曲同工之妙。

第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

上个月听宇哥的课时候，宇哥还讲了一下（笑

**对于n > 1的时候，又可以得出这3步：
1）将底盘n以上的环（n-1个）移动到B
2）将底盘n从A移动到C
3）将B上的环（n-1个）移动到C**

在把n个盘子从A移动到C的过程中，必然存在一步，那就是把最大的盘子从A拿出来。

要想把最大的盘子从A移动到C上，就必须保证剩下的n-1个盘子不能碍事，得好好堆在剩下B杆上。要保证n-1个盘子都在B杆上，至少得付出F(n-1)次移动。

在把n个盘子从A移动到C的过程中，必然存在一步，那就是最大的盘子被放到了C上，而且此后再也没动过。

在这步实施之后，我们只要花至少F(n-1)的步数把n-1个盘子从BC上就行了。这些步数必然和1）中的步数不重叠，因为这时候最大盘子在C上，而1）中最大盘子在A上。

所以就是1+F（n-1）+F（n-1）次。

#include<iostream>
using namespace std;
void Hanoi(int n,char src,char mid,char dest)
//将src座上的n个盘子 以mid为中转，移动到dest座
{
    if( n == 1){
        cout << src <<"->"<<dest<<endl;
        return; 
    }
    Hanoi(n-1,src,dest,mid);
    //将n-1个盘子从src移动到mid所需要的步骤
    cout << src <<"->"<<dest<<endl;
    // 将最后一个移动到dest
    Hanoi(n-1,mid,src,dest);
    //将n-1个盘子从mid移动到dest所需要的步骤 
    return ;
} 
int main()
{
    int n;
    cin >>n;
    Hanoi(n,'A','B','C');
    return 0;
}