最小链覆盖 Dilworth’stheorem

话说这个专题网上的讲解都没有很全，窝就将他们的总和一下。

如果有问题请私信，评论。

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首先说一下最小链覆盖定理，这个本质上是有点抽象的。

$\text{偏序集}$的概念：

我们设当前的全集为 $X$。也就是一个 $\text{偏序集}$，因为其元素部分可以比较大小。

链对于 $X$ 的一个子集满足其是全序集，及其所有的元素可以比较大小。

反链对于 $X$ 的一个子集，满足其任意非空子集都不是全序集， 即所有的元素不能比较大小。

链覆盖若干个链的并集为 $X$，且两两交集为 $\varnothing$。

反链覆盖若干个反链的并集为 $X$，且两两交集为 $\varnothing$。

最长链所有链中元素最多的集合（可以有多个）。

最长反链所有反链中元素最多的集合（可以有多个）。

偏序集高度最长链的元素个数。

最长反链最长反链的元素个数。

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狄尔沃斯定理($Dilworth’stheorem$)

最小链覆盖 $=$ 最长反链长度 $=$ 偏序集宽度

最小反链覆盖 $=$ 最长链长度 $=$ 偏序集高度

emmm，其实本质上对于链的定义可以靠自己，但是基本上按照题目的限制来。

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$Dilworth\text{ 定理在序列中的应用}$

导弹拦截

其实挺经典的，对于第一问不说。

对于第二问，考虑我们需要通过非严格下降子序列覆盖。

那么我们不妨定义链为非严格下降子序列。那么最小链覆盖就是最长的反链长度，也就是严格上升子序列的长度。

CF1296E2 String Coloring (hard version)

给你一串长度为 $n$ 的字符串，你可以给每个位置上染上一种不大于 $n$ 的颜色。

对于相邻的两个位置，如果他们的颜色不同则可以交换他们的位置。现在需要交换若干次后按照字典序排序

你需要找到最少满足条件的颜色数并输出方案。

我们考虑对于一个不用交换的序列也就是非严格上升序列，我们不用用别的颜色。所以本题就是问最少非严格上升序列的个数，将其当做链。那么我们需要求的反链长度就是最长严格下降子序列的长度。

$\text{某牛客题：}$

我们考虑对于纸飞机的飞行路径肯定是严格下降子序列，求其的最小覆盖，等价于求非严格最长上升子序列长度。

但是本题需要求除去一个数之后的答案，我们考虑对于同一个长度的答案是否有多种可能性。我们之前是维护以第 $i$ 个数结尾的长度，我们再记录一下最长序列第 $x$ 个位置的最大值，每次更新。

注意状态不能是 $f(i)$ 表示数 $i$ 结尾的最大长度，这会有重复，导致无法进行之后的 $Dp$。

对于同一个长度的序列有多个方案而且当前的数被选中了，那么不用减去 $1$ ，不然肯定需要去掉当前的数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std