最小生成树基础

最小生成树：

给定一个无向图，从中选择若干条边将所有节点连在一起，要求边权之和最小在图论中，称为求最小生成树

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求最小生成树有 Prim和 Kruskal 两种算法，其中Prim算法适用于 稠密图，Kruskal算法适用于稀疏图

Prim算法

算法所需开辟空间:

1. 布尔类型数组 st，表示某节点是否在集合（连通块）里
2. dist数组，表示某节点到 集合（连通块）的距离
3. 邻接矩阵，用于存储无向图

Prim算法中的集合，或者称为连通块，类似于 dijkstra 算法 当中的集合，一旦进入集合，就已经确定结果了。

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算法流程：（设 res 为 最小边权之和）

将dist数组初始化为无穷大

循环 n 次下列步骤：

1. 找到集合外距离集合最近的一个节点
2. 将该最近节点加入到集合当中，res += 该节点到集合的距离
3. 更新该节点连接的其他节点到集合的距离

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题目

 

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le 500$,
$1\le m\le 10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

代码：

 
准备阶段：

包含可能需要包含的头文件，定义一些常量，N 为图的最大节点个数，M为图的最大边数，这两个常量是为了后面开辟的数组满足题目当中的所有情况

INF 为相对的无穷大，并非真正的无穷大

不管是用邻接矩阵或者邻接表存储 图时，都一定需要初始化

存储无向图只需要存两条有向边即可，min的作用是处理重边，当含有重边时，只存储短的一条边

prim 函数返回最小生成树边权之和，规定了当返回值为 INF时，最小生成树不存在（最小边权之和不会是INF，不会冲突）

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prim函数体如下：

知识点：

1. 求最近节点时 将 t 初始化为 -1的操作可以避免 t 的初始值是某个已存在的节点
2. 若不是首次加入集合的节点，到集合的距离为正无穷大，则说明该点未与其他节点连通，则说明没有最小生成树

易错点：

1. 判断最小生成树是否存在的语句 要在 加给res 之前
2. 更新操作中，新的距离是 g[t][j] ，而不是 dist[t] + g[t][j]
3. 外层循环的作用仅仅是循环 n 次，也可以写成 for 1 ~ n，而不是for 0 ~ n-1，但写成 1~n时，此时 i == 1为首次入节点，需要注意修改代码 改为 i != 1

Prim算法不会出现有回路的情况，因为入集合的点就不会是最近节点

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总结：

算法所需空间：

1. 布尔数组st，判断是否在集合里
2. 整形数组dist，存储节点到集合的距离
3. 邻接矩阵g，存储无向图

算法流程：

1. 记res为最终最小边权之和结果
2. 将所有节点到集合的距离设置为 无穷大
3. 外层 n 次循环，可以for 0~n-1 或 for 1 ~ n（但需注意首入节点的 i 就不一样）
4. 在循环内部，每次找到集合外距离集合最近的节点
5. 将该节点加入集合当中，并判断是否有无最小生成树
6. 如果不是独立的节点，则 res += 刚才的最近节点到集合的距离
7. 更新 最近节点所连接节点到集合的距离

判断最小生成树是否存在：

1. 若不是加入集合的首个节点，当集合外最近节点到集合的距离为 memset初始化的正无穷大时，则不存在最小生成树
2. 不用考虑是否存在回路

易错点：

1. 注意首次入集合的点时 i 是 1 还是 0
2. 先判断，后res再加
3. 更新是 g[t][j] 不是 dist[t] + g[t][j]

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注意：

Prim算法不需要将dist[1] = 0，而最短路问题都需要将dist[1] = 0的原因是：

• Prim算法更新的是到集合的距离不会用到dist[1]这个值，所以不用置为0
• 而最短路问题更新1号节点的边的时候会用到dist[1]

注意外层要循环 n 次，不能是n-1次 dijkstra可以是n - 1，原因是：

• dijkstra只需要更新dist[n]即可，n - 1次更新（若连通）则必定能够更新dist[n]，也就少了一次循环
• 而Prim算法需要 res += dist[t]，只有当全部节点都作为“最近节点”加入到集合当中，才能加上他到集合的距离

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演示动画

注释：

1. 红色点为集合当中的点，代表st数组值为 true
2. 蓝色线代表最小生成树的边
   

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Kruskal算法

 
Kruskal算法适用于稠密图

算法思路：

1. 将所有边按照权重从小到大排序
2. 依次从小的边开始遍历，若当前边不会产生回路，则选择该边作为最小生成树的一条边，反之则不选
3. 直到选取 n - 1条边，则这些边组成了最小生成树
4. 若选取的边数少于 n - 1条边，则最小生成树不存在

如何判断当前边是否产生回路？

答：利用并查集

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并查集可以判断两个节点是否已经连通，若已经连通，则不选取该边，从而不会产生回路

刚开始每个节点各自为一个集合，在遍历边的时候，每次判断两个节点是否已经在一个集合，若不在一个集合，则合并两个集合，并此时该条边被选中，将边权加到结果当中

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算法所需空间：

1. 并查集（parent数组）
2. 结构体数组，存储所有边的信息（由于需要排序、遍历且不需要知道某节点的连通节点，则必须使用结构体数组）

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题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le 10^5$,
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \* at position 14: 1 \le m \le 2\̲*̲10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

代码：

准备阶段：

1. 在开始包含大概率可能需要的头文件，在后续使用函数时观察是否漏写，补上即可
2. 定义常量，根据题目数据

开辟空间：

1. 父亲数组p， 记录了每个节点的父节点（由于路径压缩同时也是他的祖宗）
2. 结构体数组 edges，存储所有边的信息，代表 a点到b点的距离为c
3. 由于后续需要排序需要使用sort函数，且排序的类型为自定义的类型，所以需要提供比较规则
4. 定义一个运算符重载则可以提供比较规则

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由于使用了并查集，所以需要写配套的 找祖宗的find函数

主函数：

在使用任意的数据结构时，都需要考虑是否需要初始化的问题，很关键

这里选择将kruskal封装成一个函数

规定当返回的结果为正无穷大时，说明无最小生成树，反之则为最终结果

同时在准备阶段记得补上正无穷大的定义

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kruskal函数如下：

演示动画

在下面的无向图中，各个颜色代表了其初始各自为一个集合，相同颜色代表为同一集合

首先先将所有边排序

接着开始从最小的边开始遍历

由于此时 B 和 D 尚未连通，所以将B 和 D 连通 并且该边则为最小生成树的一条边

接着由于 D 和 T 之间 也未连通，则接着执行刚才的操作

接着是 A C

接着 C 和 D

当是 C B、B T、A B时，由于两节点已经连通，则无事发生

接着S A，然后 S C也无事发生

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2 + 2 + 3 + 3 + 7 = 17，所以结果为17

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动画：

总结：

开辟空间：

1. 并查集，parent 数组
2. 存储所有边的结构体数组

 

Kruskal 算法流程：

1. 将所有边从小到大排序
2. 遍历每条边
3. 若两个节点在并查集当中未连通，则将其连通并作为最小生成树的一条边
4. 若最小生成树的边数小于 n - 1条边，则无最小生成树

 

易错点：

1. 结构体需要运算符重载指定比较规则从而能够进行sort 排序