22、计算化学中半无限积分的高效计算方法

计算化学中半无限积分的高效计算方法

在计算化学领域，半无限积分的精确快速计算一直是一个具有挑战性的问题，尤其是涉及到球形贝塞尔积分的情况。本文将介绍一种名为 S ND 的方法，它能够有效提高半无限球形贝塞尔积分的收敛性，为相关计算提供高效解决方案。

1. 积分的可积性与近似计算

当函数满足一定条件时，函数 (f(x)) 在区间 ([0, +\infty)) 上是可积的，即积分 (\int_{0}^{+\infty} f(t) dt) 存在。此时，该积分可以表示为：
(\int_{0}^{+\infty} f(x)dx = \int_{0}^{+\infty} \left[\left(\frac{d}{xdx}\right)^{\alpha} x^{\alpha - 1} g(x)\right] \sin(x) dx)
进一步可转化为：
(\int_{0}^{+\infty} f(x)dx = \frac{1}{v^{\alpha + 1}} \sum_{n = 0}^{+\infty} \int_{\frac{n\pi}{v}}^{\frac{(n + 1)\pi}{v}} \left[\left(\frac{d}{xdx}\right)^{\alpha} x^{\alpha - 1} g(x)\right] \sin(vx) dx)
使用 ND 变换可以得到 (\int_{0}^{+\infty} f(x)dx) 的近似值。

2. S 变换的递推关系

使用公式计算近似值 (S_{ND}^{(2,j)}_n) 存在一些不足，比如无法有效控制精度，且不能递归计算。为解决这些问题，研究人员推导出了递推关系。