20、计算化学中的分子积分与相关方法解析

计算化学中的分子积分与相关方法解析

1. 计算化学中的收敛加速问题

在计算化学里，对分子积分进行数值评估时，常常会遇到无穷级数收敛缓慢的难题。尽管有一些方法能够加速这类无穷级数的收敛，但要达到足够的精度，所需的计算时间仍然长得让人难以接受。所以，迫切需要新的技术来快速且准确地对基于指数型基函数（ETFs）的分子积分进行数值评估。

2. 非线性变换与外推方法

在应用数学和科学问题的数值处理中，缓慢收敛或发散的序列、级数以及振荡积分大量存在。为了加速无穷级数和积分的收敛，人们发明了收敛加速器和非线性变换方法，这些方法基于外推的思想。温（Wynn）和尚克斯（Shanks）充分证明了它们在增强甚至诱导收敛方面的实用性。通过序列变换，能够把缓慢收敛和发散的序列、级数转化为具有更好数值特性的序列和级数，从而有助于加速缓慢收敛的级数和积分的收敛。在非线性变换的情况下，收敛性的改善可能会非常显著。

在之前的研究中，非线性变换 D 和 ND 在评估如下形式的球贝塞尔积分函数时展现出了高效性：
[
\int_{0}^{1} g(x) j_{\nu}(vx) dx
]
其中，(v) 是实数，(g(x)) 是非振荡函数。要应用这两种变换，被积函数需要满足一个系数具有庞加莱级数意义下渐近展开的线性微分方程。在对非振荡部分 (g(x)) 设定某些条件后，上述半无限积分的被积函数满足应用 D 和 ND 变换所需形式的二阶线性微分方程。半无限积分的近似值 (D_{n}^{(2)}) 和 (ND_{n}^{(2)}) 分别通过求解阶数为 (2n + 1) 和 (n + 1) 的线性方程组得到，当 (n) 增大时，它们会迅速收敛到积分的精确值。不过，这