49、有界度图的量子属性测试

有界度图的量子属性测试

1. 引言

在属性测试中，目标是区分满足属性 P 的对象和远离满足属性 P 的对象。其目的是设计能在亚线性甚至常数时间内测试属性的算法，而无需读取整个输入。这源于从海量数据集中提取有意义信息的实际需求，这些数据集太大，无法全部存入单台计算机内存，只能分小块处理。

图属性测试是一个有趣的特殊情况。一些图属性，如连通性和平面性，可在常数时间内测试，与顶点数量 N 无关。但对于有界度图的邻接表表示，测试二分性和扩张性的最佳经典算法需要约 $\tilde{O}(\sqrt{N})$ 次查询，且存在 $\Omega(\sqrt{N})$ 的查询下界。因此，自然会思考能否使用量子查询更高效地解决这些问题。

此前已有一些量子属性测试的工作，例如量子和经典属性测试存在指数分离的例子，也有用于测试 juntas、黑盒群可解性、分布的均匀性和正交性以及与傅里叶变换相关的某些属性的量子算法。但除了关于测试图同构的并发工作外，很少有关于测试图属性的量子算法的研究。

本文给出了测试有界度图二分性和扩张性的量子算法，时间复杂度仅为 $\tilde{O}(N^{1/3})$，打破了 $\Omega(\sqrt{N})$ 的经典下界。此外，还证明了任何测试扩张性的量子算法必须使用 $\tilde{\Omega}(N^{1/4})$ 次查询，表明量子计算机无法在该问题上实现超多项式加速。

经典算法在测试二分性和扩张性时使用随机游走探索图，而量子游走是搜索图的强大工具，因此推测量子计算机在这些问题上可能具有优势。实际上，本文的算法间接使用了量子游走。测试二分性的经典算法基于检查一对短随机游走是否在图中形成奇数长度的循环，以证明非二分性；测试扩张性的算法