39、全密集排序问题近似方案与网络设计中的度约束问题

全密集排序问题近似方案与网络设计中的度约束问题

1. 全密集排序问题近似方案

1.1 关键引理与性质

在全密集排序问题中，有一些关键的引理和性质用于分析和证明。
- 引理 5 ：以至少 9/10 的概率，以下情况同时成立：
1. 错位顶点的数量最多为 $\epsilon n$。
2. 满足 $|\sigma_1(v) - \sigma_{\square}(v)| > 3k^23^{k - 1}\epsilon n$ 的顶点 $v$ 的数量最多为 $\epsilon n$。
3. $d(\sigma_1, \sigma_{\square}) \leq 6k^23^{k - 1}\epsilon n^2$。
- 引理 6 ：对于任意约束系统 $c$（arity $k \geq 2$），顶点集 $T \subseteq V$ 上的排序 $\sigma$ 和 $\sigma’$，顶点 $v \in V$ 以及 $p, p’ \in R$，有：
1. $|b_c(\sigma, v, p) - b_c(\sigma’, v, p’)| \leq \binom{n - 2}{k - 2}$(交叉数量) + $\binom{n - 3}{k - 3}d(\sigma, \sigma’)$
2. $|b_c(\sigma, v, p) - b_c(\sigma’, v, p’)| \leq \binom{n - 2}{k - 2}$$|$净流$|$ + $k$$d(\sigma, \sigma’)$
其中，当 $k = 2$ 时，$\binom{n -