37、随机游走转移概率近似与锦标赛相关排名问题的近似方案

随机游走转移概率近似与锦标赛相关排名问题的近似方案

随机游走转移概率近似

在图论和概率分析领域，随机游走转移概率的近似是一个重要的研究方向。对于加权无向图 (G = (V, E))，当满足一定条件时，可以通过特定的算法来近似随机游走的转移概率。

定理 3 ：设 (G = (V, E)) 是一个加权无向图，对于所有的 (u, v \in V)，存在常数 (\gamma \geq 1) 使得 (1/\gamma \leq d(u)/d(v) \leq \gamma)。那么存在一个空间复杂度为 (O(k^3n^{1 + 1/k} \log n))，查询时间复杂度为 (O(k^3 \log n)) 的预言机，给定顶点对 (u, v \in V)，输出一个值 (\hat{p})，满足：
(\gamma^{-1}P^l_{u,v} \leq \hat{p} \leq 4 \max_{1\leq j\leq k} \left[P^{(2j - 1)l}_{u,v} / n^{(j - 1)/k}\right]^{1/(2j - 1)})
预处理时间受限于 (\tilde{O}(kln^{\omega}))，其中 (\omega \geq 2) 是矩阵乘法常数。

这个定理的独特之处在于额外的归一化项 (n^{(j - 1)/k})，它提升了近似的保证。该算法基于 Thorup 和 Zwick 的近似距离预言机。

定理 4 ：任何输出估计值 (\hat{p}) 满足 (P^l_{u,v} \leq \hat{p} \leq (1 + \epsilon) \max_{1\leq j\l