38、全密集排名问题的近似方案

全密集排名问题的近似方案

1. 符号说明

首先介绍一些核心符号：
- (V) 表示待排序的 (n) 个对象（顶点）的集合。
- (\epsilon > 0) 是所需的近似参数。
- (O(\cdot)) 隐藏了元数 (k)，但不隐藏 (\epsilon) 或 (n)；(\tilde{O}(\cdot)) 额外隐藏了 ((\log(1/\epsilon))^{O(1)})。
- 排名是从基集 (S \subseteq V) 到 ({1, 2, 3, \ldots, |S|}) 的双射映射；排序是从 (S) 到 (\mathbb{R}) 的单射。每个排名也是一种排序，用 (\pi) 和 (\sigma)（加上上标）分别表示排名和排序。
- (\pi^*) 表示最优排名，(OPT) 表示其成本。
- (\binom{n}{k}) 表示标准二项式系数，(\binom{V}{k}) 表示集合 (V) 中大小为 (k) 的子集的集合。

对于任何排序 (\sigma)，(Ranking(\sigma)) 表示与 (\sigma) 自然关联的排名。为避免平局，将顶点重新标记为 (V = {1, 2, 3, \ldots, |V|})。常将 (u) 放置在 (O(1/\epsilon)) 个位置 (P(u) = {j\epsilon n + u/(n + 1), 0 \leq j \leq 1/\epsilon}) 之一（(u/(n + 1)) 项用于打破平局）。若对于所有 (u) 都有 (\sigma(u) \in P(u))，则称排序为分桶排序。(Round(\pi)) 表示对应于 (\pi) 的分桶排序（向下取整）。

排名 (