9、低带宽图的低维低失真嵌入研究

低带宽图的低维低失真嵌入研究

在数据处理和分析领域，将高维数据映射到低维空间是一个重要的研究方向，尤其是对于图结构的数据。本文将深入探讨低带宽图在 ℓp 空间中的低维低失真嵌入问题，涉及到多个关键概念和定理的介绍与证明。

1. 基本定义

在开始详细讨论之前，我们需要明确一些基本的定义，这些定义是后续研究的基础。
- 倍增常数与倍增维度 ：对于一个度量空间 $(V, d)$，其倍增常数 $\alpha$ 是满足对于任意 $r > 0$ 和 $x \in V$，球 $B(x, 2r)$ 可以被 $\alpha$ 个半径为 $r$ 的球覆盖的最小整数。倍增维度（或内在维度）$\text{dim}(V)$ 定义为 $\log \alpha$。
- 单坐标下界映射 ：映射 $\varphi$ 是单坐标 $(\epsilon, \beta)$ 下界的，如果对于每一对点 $x, y \in V$，存在某个坐标 $c$ 使得 $|\varphi_c(x) - \varphi_c(y)| \geq \beta d(x, y)$ 的概率至少为 $1 - \epsilon$。
- ℓ1 扩展 ：给定映射 $\varphi$，其 ℓ1 扩展 $\delta$ 定义为 $\delta = \max_{x,y} \frac{|\varphi(x) - \varphi(y)|_1}{d(x,y)}$。
- 局部性质 ：映射 $\varphi$ 具有局部性质，如果对于每个坐标 $c$，我们可以分配一个 2 的幂次的尺度 $s_c$，使得