45、图嵌入路径的最小失真研究

图嵌入路径的最小失真研究

在图论领域，将图嵌入到路径中并研究其最小失真问题是一个重要的研究方向。本文将围绕图嵌入路径的最小失真展开，介绍相关概念、算法以及重要结论。

基础概念

• 图的表示 ：图用 $G = (V, E)$ 表示，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。顶点 $v$ 的邻居集记为 $N_G(v)$，顶点 $v$ 的度 $d_G(v) = |N_G(v)|$。
• 距离 ：图 $G$ 中两个顶点 $u$ 和 $v$ 之间的距离 $d_G(u, v)$ 是最短 $u, v$ - 路径中的边数。
• 嵌入 ：图 $G$ 到路径的嵌入是一个映射 $E : V → Z$。非收缩嵌入满足 $d_E(u, v) ≥ d_G(u, v)$ 对所有顶点对 $u, v ∈ V$ 成立。非收缩嵌入的失真 $D(G, E)$ 定义为最小整数 $c$，使得 $d_E(u, v) ≤ c · d_G(u, v)$ 对所有顶点对 $u, v ∈ V$ 成立。最小失真嵌入是失真最小的非收缩嵌入，图 $G$ 的失真 $D(G)$ 是其最小失真嵌入的失真。
• 槽 ：嵌入中的每个整数位置称为一个槽，非收缩嵌入中恰好有 $n$ 个槽被图 $G$ 的顶点占据，其余为空槽。

不同图的失真结果

• 连通适当区间图 ：其嵌入路径的失真等于其带宽。
• $n$ 个顶点的循