8、低维嵌入与覆盖问题的研究进展

低维嵌入与覆盖问题的研究进展

在计算机科学领域，图嵌入和集合覆盖问题一直是重要的研究方向。本文将介绍两个方面的研究成果，一是优先铰链轴对齐矩形覆盖问题（Priority HARC）的整数间隙下界，二是有界带宽图嵌入到 $\ell_p$ 空间的算法。

优先铰链轴对齐矩形覆盖问题的整数间隙下界

在集合覆盖问题中，我们常常关注线性规划（LP）松弛的整数间隙。对于优先铰链轴对齐矩形覆盖问题（Priority HARC），研究人员通过一系列步骤建立了其整数间隙的下界。

相关问题定义

• 铰链轴对齐矩形覆盖问题（HARC） ：给定二维平面上的点集 $X = {(x_j, y_j) : 1 \leq j \leq n}$ 和一组轴对齐矩形 $S = {[a_i, b_i] \times [0, d_i] : 1 \leq i \leq m}$，所有矩形都有一条边在 $X$ 轴上。目标是选择最少数量的矩形来覆盖点集 $X$，覆盖的概念是点包含在矩形内。已知该问题的自然 LP 松弛的整数间隙为 2，且该间隙具有遗传性。
• 二维矩形覆盖问题（2DRC） ：给定二维平面上的点集 $X = {(x_j, y_j) : 1 \leq j \leq n}$ 和一组轴对齐矩形 $S = {[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] : 1 \leq i \leq m}$，目标是选择最少数量的矩形来覆盖每个给定的点，覆盖的概念同样是点包含在矩形内。

从 2DRC 到 Priority HARC 的归约

为了研究