6、社交网络垄断定价中的纳什均衡问题研究

社交网络垄断定价中的纳什均衡问题研究

在社交网络的垄断定价场景中，存在负外部性的情况下，定价博弈的研究具有重要意义。下面将深入探讨定价博弈中的悲观纳什均衡和最佳纳什均衡问题。

定价博弈基础

定价博弈是一个精确势博弈。对于每种着色方案 (C)，都有一个势函数 (\varphi(C)) 与之关联，其定义为黑 - 黑边的总权重加上 (\Delta) 乘以白色节点的数量，即 (\varphi(C) = \Delta \times |W_C| + \sum_{(i,j) \in E : i,j \in B_C} w(i, j))。这里，(W_C) 表示着色 (C) 下的白色节点集合，(B_C) 表示黑色节点集合，(w(i, j)) 是边 ((i, j)) 的权重。

基于此势函数，可以得出定价博弈存在纯纳什均衡。若 (a)、(b)、(p_1)、(p_2) 以及所有边的权重 (w(i, j)) 都取 ({1, \ldots, \mu}) 范围内的整数值，那么纳什动态将在 (\Theta(\mu|V|^2)) 步内收敛。

为了估算卖家在纯纳什均衡下可能获得的最大和最小收入，定义了两个问题：
- 最佳纳什均衡（BNE） ：给定定价博弈的一个实例，找到能产生最大收入的纯纳什均衡。
- 悲观纳什均衡（PNE） ：给定定价博弈的一个实例，找到能产生最小收入的纯纳什均衡。

研究重点并非纳什动态本身，而是在边权重为小整数（此时纳什动态能在多项式时间内收敛）的情况下，计算具有特定收入属性的纯纳什均衡的难度。

悲观纳什均衡（PNE）