18、最优控制系统中的不变关系与控制理论应用

最优控制系统中的不变关系与控制理论应用

1. 控制函数的一致性条件与不变性

在对控制对象进行建模时，控制函数需要额外满足（r - n + 1）个一致性条件（6.6）。这些条件的主要特点是它们与引导向量的坐标无关，因此对于给定对象的任何 Mayer 变分问题的目的论方面，它们是不变的。而且，这些条件甚至可以在任何变分问题表述之前推导出来，只需要以系统（6.1）的形式掌握关于对象性质的信息。

当控制影响未达到其边界值（u(t) ∈ intU）时，关系（6.6）成立；若某些控制达到边界值，不变关系则会呈现不同形式，此时（r - n + 1）个公式（6.20）将被关系（6.8）取代。选择合理控制的不变约束仍然是（r - n + 1）个，即（r - n + 1） - q 个公式（6.20）加上 q 个边界面方程：gs(x1, … , xn, u1, … , ur) = 0，s = 1, q。

2. 冗余控制下对象的功能特征

在分析必要的最优性条件时考虑不等式 r ≥ n，会得出一个意外结果：在有效运行时，对象控制的自由度数量会减少。在变分问题中，自由度数量等于控制函数的数量 r。当对象在最大点进行有效运行时，控制函数应额外满足（r - n + 1）个控制动作的一致性条件：detAj = 0（j = n, r）（见方程（6.6）或方程（6.8））。

求解这些方程后，可得到控制函数之间的以下关系：
un = un(x1, …, xn, u1, u2, …, un - 1)
un + 1 = un(x1, …, xn, u1, u2, …, un - 1)
…
ur = ur(x1, …, xn, u1, u2,